数学A やや複雑な事象の確率について教えてください

当たりくじ4本を含む10本のくじがある。このくじを1本引き、はずれたときは
くじをもとに戻し、当たったときはもとに戻さない。このようにして、
1本ずつ2回続けてくじを引くとき、次の確率を求めよ。
(1)2本目が当たる確率

教科書からの問題です

a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,b6　として、
樹形図を作ったのですが、a1～a4の分岐は自身を含まない
(a1,a2)(a1,a3)(a1,a4)(a1,b1)……
b1～b6の分岐は自身を含む
(b1,a1)(b1,a2)(b1,a3)……(b1,b1)……
よって 4×9+6×10=96
全事象　n(U)=96だと考えたのです。
しかし答えは
[1]1本目が当たり、2本目も当たり
4/10×3/9=2/15
[2]1本目がはずれ、2本目が当たり
6/10×4/10=6/25
でした。これだと[1]はb1～b6自身をもう一回引く場合がはぶかれているように思え、
[2]はa1～a4自身を2回目に引く場合をはぶいていないように思えるのです。
そして、なぜこの問題は樹形図が通用しないのでしょうか。
同様に確からしくないからでしょうか…？

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2019/03/05 15:51

もっと簡単に考えれば・・・

２回引いたときの結果は、
Ａ）１本目も２本目もはずれ
Ｂ）１本目ははずれて２本目はあたり
Ｃ）１本目は当たって、２本目ははずれ
Ｄ）１本目も２本目も当たり
の４通りしかありません。求めるのはＢの確率とＤの確率の合計です。

わかりやすく４通り全ての確率を計算すると
Ａ）６／１０×６／１０＝９／２５
Ｂ）６／１０×４／１０＝６／２５
Ｃ）４／１０×６／９＝４／１５
Ｄ）４／１０×３／９＝２／１５
Ｂ＋Ｄ）６／２５＋２／１５＝（１８＋１０）／７５＝２８／７５
参考：
Ａ＋Ｃ）９／２５＋４／１５＝（２７＋２０）／７５＝４７／７５（＝１－２８／７５）

さてさて、樹形図で考えたのがまずかった理由ですが、全事象は確かに９６通りなのですが、
この９６通りの発生比率が均等ではないということです。
質問に書かれているように「同様に確からしくない」からです。

もっと簡単なケースを考えてみます。
当たりくじが１本、はずれくじが１本の計２本のくじで、はずれが出たら戻して当たりが出たら戻さない場合に、２本目が当たり確率は
樹形図にすると、当たりーはずれ、はずれーはずれ、はずれー当たりの３通りになります。
最初に当たりを引く確率は１／２で同様に最初にはずれを引く確率も１／２です。
当然、最初に当たりを引けば２本目に当たりを引くことはないので、この１／２は確実に２本目ははずれです。
一方で最初にはずれを引く確率は１／２で、二本目に当たりを引く確率は１／２です。
（この確率が全体で１／４になるのは、当たりはずれに関係なくくじを戻す場合と同じなのでわかると思います。）
したがって、求める確率は１／４で、二本目にはずれを引く確率は１本目で当たりを引く１／２と１本目にはずれを引いて、２本目もはずれを引いた場合の１／４を合わせて３／４となります。

したがって、この問題の解き方としては１本目が当たりである場合と、はずれである場合に分けて、計算するということです。

この回答へのお礼

大変参考になりました。
詳しい回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/03/06 20:49

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/04 23:38

あたり→あたりの場合、個々の場合の確率は 1/90

はずれ→あたりの場合、個々の場合の確率は 1/100

つまり、場合の個数だけでは確率は計算できません。

樹形図でやる場合は、個々のリーフの確率を
加味しないと計算できません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/03/06 20:47

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/04 21:35

＞これだと[1]はb1～b6自身をもう一回引く場合がはぶかれているように思え、

＞[2]はa1～a4自身を2回目に引く場合をはぶいていないように思えるのです。

錯覚です。そう思う根拠を書いてくれれば、そのどこが間違っているのか
指摘することもできますが、「思う」だけでは修正のしようがありません。
そういう「思う」とかで計算していると、数学は間違えます。感想文とは違うんです。

教科書や参考書で、めんどくさい説明をせずに済ますために、
「樹形図を書け」とか「樹形図を見ろ」とか連発するものがあるのですが、
困ったことです。樹形図で解決できるのは、全ての場合の数が相当少なくて
全部書き出してもミスが起こらない規模の問題だけです。つまり、
教科書の例題程度にしか適用できなくて、問題集の問題はそれでは解けません。
では、樹形図で解けない問題をどうするかというと、[1][2]のようにするのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/03/06 20:46