陰関数、微分法

次のｘ、ｙの陰関数ｚ(x,y)の2階偏導関数を求めよ。
xy+yz+zx=1
Zx=-(z+y)/(x+y),Zy=-(x+z)/(x+y),Zy=-(x+z)/(x+y)まで求めたのですが、Zxx,Zxy,Zyyが合いません。詳しく教えてください。
Zxx==２(z+y)/(x+y)＾２です。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/29 12:44

普通に、順次微分するだけですよ。

xy + yz + zx = 1 を(y を固定して) x で偏微分すると、
y + y(∂z/∂x) + {(∂z/∂x)x + z・1} = 0 より
∂z/∂x = -(y+z)/(y+x).
対称性より同様に
∂z/∂y = -(x+z)/(x+y).
どう計算したのかは書いてありませんが、
あなたの Zx, Zy で結果は合っています。

２階偏微分も同じこと。
y + y(∂z/∂x) + (∂z/∂x)x + z = 0 を x で偏微分して、
y(∂^2z/∂x^2) + {(∂^2z/∂x^2)x + ∂z/∂x} + ∂z/∂x = 0 より
∂^2z/∂x^2 = -2(∂z/∂x)/(y+x) = 2(y+z)/(y+x)^2.

y + y(∂z/∂x) + (∂z/∂x)x + z = 0 を y で偏微分しても
x + z + y(∂z/∂y) + (∂z/∂y)x = 1 を x で偏微分しても同じ式が得られて
1 + {∂z/∂x + y(∂^2z/∂x∂y)} + (∂^2z/∂x∂y)x + ∂z/∂y = 0 より
∂^2z/∂x∂y = -(1 + ∂z/∂x + ∂z/∂y)/(y + x) = 2z/(x+y)^2.

x + z + y(∂z/∂y) + (∂z/∂y)x = 1 を y で偏微分して、
∂z/∂y + {(∂z/∂y) + y(∂^2z/∂y^2)} + (∂^2z/∂y^2)x = 0 より
∂^2z/∂y^2 = -2(∂z/∂y)/(y+x) = 2(x+z)/(x+y)^2.

この回答へのお礼

ありがとう御座います

お礼日時：2019/05/03 17:47

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/29 12:58

xy+(x+y)z=1 を、z=f(x, y) とみて微分します。

まず、
y+z+(x+y)*(∂z/∂x)=0, x+z+(x+y)*(∂z/∂y)=0....(*)
次に、再度微分して、
2(∂z/∂x)+(x+y)*(∂^2z/∂x^2)=0,
1+(∂z/∂y)+(∂z/∂x)+(x+y)*(∂^2z/(∂x∂y))=0,
2(∂z/∂y)+(x+y)*(∂^2z/∂y^2)=0.
を得ます。これから、(*)を使って第１次偏導関数を消去してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/05/03 17:47