資料解釈の問題で使用する分数の大小比較についての質問です。

現在公務員試験対策の為、予備校に通っていまして講師の方から分数の比較について教えて頂いたのですが、何度教えて頂いてもイマイチ分からず理解力の低さに呆れられてしまい、こちらの顔を見るなり避けられて教えていただけない状態です。ここへ質問を投げかけるのはどうかと思うのですがご教授願います。
※誹謗中傷はお控え下さい。
※質問の意味が分からなければお答えしないで下さい。
※ネット上、分数の表記が2分の1＝1/2　になります。

☆分子が大きい→値は大きくなる。分母が大きい→値は小さくなる。（逆あり）
これは分かっています。
以下について分かりません。講師から教えて頂いた内容をそのまま入力します。

① 18/53　と　19/54　を比較する場合。
分子は18→19へ+1の増加をしている、分母は53→54へ+1の増加をしていることを確認する。
18/53は大体1/5とみると、19/54の方が大きい。←ここが意味分かりません。
18/53がなぜ1/5くらいになるのかが理解できません。また1/5でみたところで19/54が1/5より大きいとはどう比較するのでしょうか。※講師へ目安の分数がその数になるのかというピンポイントを聞いても、同じことを復唱されました。


② 25/123　と26/125　を比較する場合。
　分子は25→26へ+1増加している、123→125へは+2増加していることを確認する。
25/123を大体1/60とみると、26/125が大きい。


このやり方が一番早く解けるとのことなのですが、できれば理解したいです。

またこの解き方以外は教えてもらっていないのですが、分母と分子それぞれの増加率を比べて、どちらが大きいかを判別するかやり方しか分かりません。例えば、①は分母分子どちらも増加している数値は同じなので、どうやって増加率を考えたらいいのでしょうか・・・。

No.5 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2019/05/23 21:41

「18/53は大体1/5とみると」って、かなり乱暴な話で 納得できません。

分母子が 同じ数だけ増加すると、真分数の場合は、分数の値が 大きくなります。
仮分数の場合は 反対に 小さくなります。
これは 分数の性質上 明らかです。

② の場合も、分母子をそれぞれ -24 して比べると、
1/99 と 2/101 では 2/10 の方が明らかに大きいですよね。
つまり (1/99)<(25/123) で (2/101)<(26/125) となり、
(25/8123)<(26/125) は 明らかになります。

No.6 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2019/05/24 12:50

かなり乱暴な説明ですね。

面倒でも通分をして分子の大小で比較すればよいのでしょうが、面倒ですよね？
ここで
18/53と19/54を通分を考えてみます。
18/53=(18×54)/(53×54)
19/54=(19×53)/(53×54)
です。
これで18×54と19×53の大小を比較すれば良いのですが・・・・
ここでa>0,b>0の場合に
a+bが一定のときにabが最大になるのはa=bの場合で,|a-b|が大きいほどabが小さくなるという法則があるので、
19×53>18×54
となるので、(19×53)/(53×54)=19/54>(18×54)/(53×54)=18/53となります。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/05/23 21:38

分数をm/n（m、nは自然数）として、元の分数と,新しい分数（元の分数の分子、分母をいくつか増加したもの）の大小関係を考えます。

（Ⅰ）分子、分母ともに１増加した場合
　　　元の分数m/n、新しい分数(m+1)/(n+1)となります。
　　　新しい分数から元の分数をひいてみます。
　　　(m+1)/(n+1)-m/n={n(m+1)-m(n+1)}/n(n+1)=(n-m)/n(n+1)
　　したがって、ｎがｍより大きい場合、すなわち、元の分数の分母が分子より大きい場合は、新しい分数が元の分数より大きくなります。
　　　［たとえば、19/54>18/53］

（Ⅱ）分子を１、分母を２増加した場合
　　　元の分数m/n、新しい分数(m+1)/(n+2)となります。
　　　新しい分数から元の分数をひいてみます。
　　　(m+1)/(n+2)-m/n={n(m+1)-m(n+2)}/n(n+2)=(n-2m)/n(n+2)
　　　したがって、nと２ｍの大小関係により、新しい分数と元の分数の大小関係は変わります。
　　　①ｎ＝２ｍのとき
　　　　すなわち、m/n=m/2m=1/2のときは、m/n=(m+1)/(n+2)
　　　　　 新しい分数と元の分数は等しくなります。
　　　 　　　　　［たとえば、1/2=2/4］

　　　　　 ②n>2mのとき
　　　　　 新しい分数が元の分数より大きくなります。
　　　 　　　　　［たとえば、26/125>25/123］

　　　　　 ③n<2mのとき
　　　　　　　　　 新しい分数が元の分数より小さくなります。
　　　 　　　　　［たとえば、19/27<18/25］

（Ⅲ）分子をa、分母をb増加した場合
　　　元の分数m/n、新しい分数(m+a)/(n+b)となります。
　　　新しい分数から元の分数をひいてみます。
　　　(m+a)/(n+b)-m/n={n(m+a)-m(n+b)}/n(n+b)=(an-bm)/n(n+b)=mn(a/m-b/n)/n(n+b)
　　　分子、分母の増加率を考えるならば、分子の増加率［(m+a)/m=1+a/m］と分母の増加率［(n+b)/n=1+b/n］を比べて、
　　　分子の増加率が分母の増加率より大きい場合、a/m>b/nとなり、新しい分数が元の分数より大きくなります。
　　［たとえば、①18/53と19/54のときは、19/18>54/53より19/54>18/53
　 ②25/123と26/125のときは、26/25=1+1/25,125/123=1+2/123=1+1/61.5より26/25>125/123となり26/125>25/123］

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/23 20:29

なんか良くわからない話だけど、かなり聞き間違っていると思います。

1/5≒25/123のことだろうし
1/60≒2/123
の話だと思う。
18/53≒18/54＝1/3 なのでどうやったって1/5は不自然。

25/123→26/125

ですけど、分子と分母が≒1:5 だから
分子1の増加に対して分母は5増加で
大体釣り合う。

分子1、分母2では分子側の圧勝。

しかし、いじいじ暗算するより
電卓叩いた方が速ぃですよ。

No.2 回答者： kihonkana 回答日時： 2019/05/23 15:54

増加数が同じ場合、増加率はもともとの値が大きいほど小さくなる（もともとの値が小さいほど大きくなる）

10-->11と50-->51を比べると前の方が10%増加、後の方が2%増加。
分母、分子を同じ数だけ増加すると、（分子の方が小さい数なので）、分母の増加より、分子の増加の方が大きい。
従って、元の数より大きくなる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/23 15:25

＞18/53は大体1/5とみると

おそらく 18 ≒ 10, 53 ≒ 50 と見たってことなんでしょうが、
そこまで雑な近似で 18/53 と 19/54 が比較できるとは思えません。
18/53 と 1/5 より、18/53 と 19/54 のほうが近いじゃありませんか。
その講師に指導された考え方は、頭おかしいとしか言えません。

＞分母と分子それぞれの増加率を比べて、どちらが大きいかを判別するやり方
には、ちゃんとした数学的根拠があるし、十分速く判定できると思いますよ。
19/54 = 18(1 + 1/18)/53(1 + 1/53) = (18/53)(1 + 1/18)/(1 + 1/53)
> (18/53)(1 + 1/53)/(1 + 1/53) = 18/53.
を頭の中でやればいいんでしょう?