a^n /n!の極限について この問題を1ヵ月考えたのですが、自信のある解答が作れませんでした。a>

a^n /n!の極限について

この問題を1ヵ月考えたのですが、自信のある解答が作れませんでした。a>0の場合の解答を作ったので載せますが、a^n /(n-1)!εで抑える形になってしまい、εにもっていく事が出来ませんでした。わかる人解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 出来れば模範解答も書いて欲しいです。

    補足日時：2019/07/24 22:41

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/26 20:52

ANo.1/2/4です。

>私の解答は間違っているでしょうか？あっている間違っていると答えにくいなら、点数でお願いします。

読めないところがいくつかありますが、イプシロン・N論法で極限値を求めようとしていることは読み取れました。

残念ながら間違っています。
イプシロン・N論法では、 |a[n]-a|<ε になることを示さないといけません。
あなたの解答ではa^n/(n-1)!が残ったままとなっているため、ε未満であることが示されていません。
イプシロン・N論法でlim[n→∞]a^n/n!=0を証明するのは大変です。

幸いなことに lim[n→∞]a^n/n!=0 をイプシロン・N論法で説明した資料がありますので、参考までに示しておきます。

https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyon …

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/25 20:48

ANo.1/2です。

>(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)…(a/n)<(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)^(n-b)
>(a/b)…(a/n)<(a/n)^(n-b)から上の不等式を作ったと思うのですが、この不等式がなぜ成り立つか分かりません。

a=3を例に説明すると、

3^n/n!=(3/1)(3/2)(3/3)(3/4)(3/5)…(3/n)←全体でn個

(3/1)(3/2)(3/3)(3/4)^(n-3)=(3/1)(3/2)(3/3)(3/4)(3/4)…(3/4)←全体でn個

となります。
(3/1)(3/2)(3/3)までは同じですが、左式は分母が1ずつnまで増加しているのに対し、右式は(3/4)以降は分母が固定になります。
分子が定数であれば、分母が大きいほど数は小さくなります。よって、

(3/4)(3/5)…(3/n)<(3/4)(3/4)…(3/4)

が成立することになります。

上記はa=3の場合ですが、任意の実数で成立することはANo.1で回答した通りです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。あと一つだけ聞きたいことがあります。私の解答は間違っているでしょうか？あっている間違っていると答えにくいなら、点数でお願いします。

お礼日時：2019/07/25 23:41

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/25 05:24

a > 0 かつ b < n のとき a/n と a/b はどっちが大きい?

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/24 23:12

ANo.1です。

少しだけ訂正します。
bは自然数かつ、0<a<b<nとします。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/24 23:05

bを定数かつ、0<a<b<nとすると、

0<a^n/n!=(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)…(a/n)<(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)^(n-b)

(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))は定数、0<(a/b)<1より

lim[n→∞](a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)^(n-b)=0

はさみうちの原理により、
lim[n→∞]a^n/n!=0

a<0の場合は、
a^n/n!=(-1)^n (-a)^n/n!

となり、A=-aとするとA>0となるため
lim[n→∞]A^n/n!=0

よって、a<0でも
lim[n→∞]a^n/n!=0

a=0のときは0に収束するのは自明。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)…(a/n)<(a/1)(a/2)(a/3)…(a/(b-1))(a/b)^(n-b)

(a/b)…(a/n)<(a/n)^(n-b)から上の不等式を作ったと思うのですが、この不等式がなぜ成り立つか分かりません。

お礼日時：2019/07/24 23:44