マクローリンの展開式より 0

Question

マクローリンの展開式より
0<θ<1
f(x)＝cosxとすれば
f'(x)＝-sinx,f''(x)＝−cosxより
 cosx＝1-x^2/2cos(θ1x)

なぜこのようになるのかがわかりません
これは公式を使っているのでしょうか？

教えてください

ありものがたり · Accepted Answer

補足コメントの文章を見ると、なんだか不安になってきます。
教科書に書いてある式を、どういう条件で何が成り立つという定理なのかを理解せず、
式だけ覚えて漠然と「公式だから」と運用している人は多いものです。
短い質問文から確実なことは言えないのですが、今回の質問からは
そいう人の雰囲気が濃厚に感じられます。

テイラー展開(マクローリン展開は、その一種)の根拠になる「テイラーの定理」には、
剰余項を明示する式の書き方にいくつかのバリエーションがあります。
学校の教科書に出てくる「平均値定理」(正確には、ラグランジュの平均値定理。
平均値定理と呼ばれるものは、実は他にもある。)は、
ラグランジュ形の剰余項をもつ一次のテイラーの定理のことです。
テイラーの定理を n=1 に限定すると平均値定理になるとも言えるし、
平均値定理を使ってテイラーの定理が導けるとも言える。
テーラーの定理と平均値定理は、表裏一体のものです。

(ラグランジュの)平均値定理とは、以下のような定理です。
f(x) が閉区間 [a,a+h] で連続、開区間 (a,a+h) で微分可能な関数であれば、
f(a+h) = f(a) + f’(a+hθ)・h が成り立つような θ が (0,1) の範囲に存在する。
ここから、二次のテイラーの定理は、
f(x) が閉区間 [a,a+h] で連続、開区間 (a,a+h) で２階微分可能な関数であれば、
f(a+h) = f(a) + f’(a)・h + {f’’(a+hθ)/2}・h^2/2 が成り立つような
θ が (0,1) の範囲に存在する　です。

これを、f(x) = cos x, a = 0, a+h = x に適用すると、
f(x) = f(0) + f'(0)x + {f’’(θx)/2}x^2 すなわち
cos x = 1 + 0x - (x^2/2)cos(θx) となるような
θ が 0<θ<1 の範囲に存在する　となります。
公式を使っているのでしょうか？ と言われれば、当に公式を使っていますね。

majimelon37 · Answer

f(x)＝f(0)+f'(0)x +f''(θx)/2x^2
である。ただし、0<θ<1とする。という定義です。>

質問文にこの式が書いてないから、θとxの関係がわからないのです。
数学は、定義から議論が始まるのだから、定義を省略したら議論が成立しない。
では「θ1x」は何でしょうか。θ1xはθxの書き間違いですか。

majimelon37 · Answer

この質問は、文の一部分を勝手に切り取ってきたのか、意味が分かりにくい。
３，４行目は、普通の数学の公式で
f(x)＝cosxとすれば
f'(x)＝-sinx,f''(x)＝−cosxとなるのは、正しい公式です。
f(x)＝cosxのマクローリン展開は
cosx＝1-x^2/2+x^4/24-x^6/720＋－･･･＿①となる。
解らない所は、２行目の、0<θ<1　で、θはxの書き間違いでしょうか。
５行目の、cosx＝1-x^2/2cos(θ1x)　は、テーラーの定理の式らしい。θ1xの説明がない。
説明文がない所を想像で補って、説明を作ると、マクローリン展開は項の数が無限に続く無限級数ですが、n次の項で打ち切ったとき、最後の項を剰余項Rnという。
f(x)＝cosx＝1-x^2/2+x^4/24-x^6/720＋－･･･+Rn＿②
Rn=f^ⁿ(c)/n!･xⁿ＿③　である。f^ⁿ(c)は、f^ⁿはf(x)をn階微分した関数，cは0<c<xとなる適当な数である。これはマクローリン展開のもとになるテーラー展開に関するテーラーの定理を、この質問にあてはめたものである。n=2次の項で打ち切ったとき、剰余項は
R₂=f''(c)/2!･x²=－cos(c)/2･x²となるので、式②は
f(x)＝cosx＝1－cos(c)/2･x²＿④となる。cは0とxの間の適当な数である。
もう少し正確に言いかえると、0とxの間の適当な数cが存在し、式④を成立させることができる。(実際は、cは解らないので、c=0と決めて、cosx≒1－x²/2とし、誤差はR₂より小さいと考える。)
式③は５行目ときわめてよく似ているので、テーラーの定理を書いたものと推定する。
cの代わりにどんな文字を使っても、質問者の自由だが、文全体で整合が取れていないと意味が分からない。
式③の剰余項の文字表現が正確にできないので、図に、テーラーの定理のwikipediaの記事を示す。テイラー展開で、a=0としたとき、マクローリン展開という。
https://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開

マクローリンの展開式より 0<θ<1 f(x)＝cosxとすれば f'(x)＝-sinx,f''(x

補足コメントの文章を見ると、なんだか不安になってきます。

f(x)＝f(0)+f'(0)x +f''(θx)/2x^2

この質問は、文の一部分を勝手に切り取ってきたのか、意味が分かりにくい。

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