微積分と関係がない関数

Question

数学では素人には全然分からない関数がたくさんあるようですが、微積分の対象に全然ならないような関数というものもあるのですか？

adinat · Accepted Answer

極論すれば解析で扱う関数はほとんどすべて微積分の対象になります。高校で習うリーマン積分の一般化とも言えるルベーグ積分というものを使えば大抵の関数は積分できますし、ルベーグ測度という概念を用いれば有界変動関数はほとんどいたるところで微分が可能です。さらに高度になりますが、超関数微分という概念を用いると、およそ解析で扱うようなほとんどの関数が微分できるようになります。その意味で、微積の対象にならないようなものは解析ではまず出てこないと思います。

最近ではフラクタル解析などという分野もあったりしますが、ここでも何らかの意味で積分というものが絡んできます。要は積分するための測度というものがあたえられるところでは必ず微積分が登場するように思います。

確率論に目を向けても最近は無限次元解析と呼ばれるものがあって、もう何から何まで微分できちゃう感じがしないでもありません。

離散数学だと微積分は到底できませんが、同様の概念である差分（要は数列の階差をとる操作）や和分（と言うかどうか忘れましたが、要するに数列の和です）などがあって似たようなものです。

幾何学で扱う関数もほとんどの場合、微分や積分に相当する演算（かなり抽象的な定義になりますが）が考えられていますし、もっとも縁の薄そうな代数学に至ってもある意味で微分や積分に相当するものがあったりします。

僕がいままで習ったところでは微積分とまったく無縁だろうと思えるような関数が出てきたのは集合論で扱うような関数だと思います。そもそも集合論で扱う集合には位相すら入ってないことがほとんどなので、連続だとかそういう概念がはじめから存在しないので、微積分などを考える余地がないわけです。そういったわけで、数理論理学などで扱ったりする関数などは微積分と無縁なものが多く出てくるのではないでしょうか？

Piazzolla · Answer

面白い質問でしたので、分からないんですが、考えてみました。＾＾；
こんなのはどうなんでしょうか。。。
確率に出てくる、確率関数、階段関数、分布関数など。
離散数学に出てくる、論理関数、プログラムで使う関数など。
難しいところは知らないのですが、結局、不連続な関数の微積分ってないのではないでしょうか。。。
もっと、普通の解析学に出てくるような関数なら、色々あるんですが。
ワイエルシュトラス関数、セレリエ関数、などなど。
これらは、連続だけども至る所で微分不可能というものです。

hpsk · Answer

微分不可能な点が存在する関数は高校レベルでもでてきますが、( f(x) = |x| とか ）
積分も不可能な関数というのはあまり知られていないのではないでしょうか。

たとえば、
f(x) = 1 (xが有理数のとき), 0 (xが無理数のとき)
は微分も積分も不可能です。

takayuki_kato · Answer

no.3の方が回答されているように高校で習う積分，つまり数学の専門家以外の「世間一般の方々」がおっしゃる「積分」というのは専門用語で言うと「リーマン積分」というものになります。
　で，そのリーマン積分で考えた場合，かなり大雑把な，乱暴な言い方をしますと

・グラフが描ける関数（の大部分）は微分積分が可能
・グラフが描けない関数は微分積分が不可能

といえます。いや，大学教養レベル以上の数学を勉強した方からみればツッコミどころ満載の回答であるのは承知の上ですが，微分可能性などの問題は結構抽象的でイメージしづらいトコがあるのでそのイメージをつかむきっかけとしては役に立つかもしれないな、と思ってあえて書かせていただきました。

微積分と関係がない関数

面白い質問でしたので、分からないんですが、考えてみました。

微分不可能な点が存在する関数は高校レベルでもでてきますが、( f(x) = |x| とか ）

極論すれば解析で扱う関数はほとんどすべて微積分の対象になります。

no.3の方が回答されているように高校で習う積分，つまり数学の専門家以外の「世間一般の方々」がおっしゃる「積分」というのは専門用語で言うと「リーマン積分」というものになります。

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微分不可能な点が存在する関数は高校レベルでもでてきますが、( f(x) = |x| とか）

　no.3の方が回答されているように高校で習う積分，つまり数学の専門家以外の「世間一般の方々」がおっしゃる「積分」というのは専門用語で言うと「リーマン積分」というものになります。