lim(x→-∞) x^3-2x+3 と lim(x→-∞) √(x^2+1)+x の極限をもとめよ

lim(x→-∞) x^3-2x+3
と
lim(x→-∞) √(x^2+1)+x
の極限をもとめよ

-∞に近づける時のやり方がわかりません。
教えてください。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/22 00:43

lim[x→-∞] x^3-2x+3 = -∞ が、虚を突かれたというか

一瞬手が止まる。
(-∞)(-∞)(-∞) = (-∞) とか、結構ヤバそうだし。

ちゃんとやるには、どうしよう？　例えば、
(x^3-2x+3) - (x+3)^3 = -9x^2 - 29x - 24 = -9(x + 29/18)^2 - 23/36 ≦ 0
より x^3-2x+3 ≦ (x+3)^3.
任意の y に対して、x ≦ y^(1/3) - 3 の範囲に x をとれば
x^3-2x+3 ≦ y となるから、x^3-2x+3 の値はいくらでも小さくできる
とか？

lim[x→-∞] √(x^2+1) + x のほうはマイルドで、
高校の教科書とかにも載ってそう。
√(x^2+1) + x = (√(x^2+1) + x)(√(x^2+1) - x)/(√(x^2+1) - x)
= ((x^2+1) - x^2)/(√(x^2+1) - x )
= 1/(√(x^2+1) - x)
= (1/-x) / (√(1+1/x^2) + 1)
→ 0 / (√(1+0) + 1)　　　； when x → -∞
= 0.

ここでは、x = 1/t で置換して t → 0 で扱ったが、
x → -∞ とすることに苦手意識があるなら、
最初に一旦 x = -u で置換して u → +∞ で扱うといいかもしれない。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/21 23:17

lim[x→-∞] x^3 - 2x + 3は、3次関数のグラフを考えれば、-∞に発散するとすぐイメージできる。

どうしてもというのであれば、
lim[x→-∞] x^3 - 2x + 3
=lim[x→-∞] x(x^2 - 2) + 3
=lim[x→-∞] x(x+√2)(x-√2) + 3
より負の無限大の3乗より、
=-∞

lim[x→-∞] √(x^2+1) + xは、
分母、分子に√(x^2+1) - xをかけると、
=lim[x→-∞] (√(x^2+1) + x)(√(x^2+1) - x)/(√(x^2+1) - x)
=lim[x→-∞] ((x^2+1) - x^2)/(√(x^2+1) - x)
=lim[x→-∞] 1/(√(x^2+1) - x)

x=-tとすると、x→-∞はt→∞となる。

=lim[t→∞] 1/(√((-t^2)+1) + t)
=lim[t→∞] 1/(√(t^2+1) + t)
=0