△ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとする。△ABCの外心と △LMNの垂心が一致

△ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとする。△ABCの外心と
△LMNの垂心が一致することを示せ。


なぜこれは一致するのですか？教えてくださいませんか…

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/08/21 23:25

△ABCで

仮定よりN,MはAB,ACの中点なので、中点連結定理から
NM//BC
Lの垂線とNMの交点をPとする
∠PLB=90°
BL=CLなのでLPはBCの垂直二等分線
NM//BCより平行線の錯角は等しいので
∠PLB=∠MPL=90°
よって、LPはNMの垂線
したがって、LPはBCの垂直二等分線であり、NMの垂線であるから
Lからの垂直二等分線と垂線が一致する
同様に、MまたはNからの垂直二等分線と垂線も一致するので
△ABCの外心と△LMNの垂心は一致する

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:34

△ABCの外心が実は△PQRの垂心であることを示してみましょう． △PQRの垂心をOとします．中点連結定理より，AB // RQで

あるから，OP \perp AB. したがって，OPは線分ABの垂直二等分線です．同様にして，OQは線分BCの垂直二等分線，ORは線分ACの垂直二等分線です．よって△PQRの垂心は△ABCの外心と一致します．この議論を逆にたどれば，逆方向の場合も示せます．(その必要はないですが)