数Aの整数問題に関する質問です。例えば｢45の倍数で正の約数の個数が15個である自然数ｎを全て求めよ

数Aの整数問題に関する質問です。例えば｢45の倍数で正の約数の個数が15個である自然数ｎを全て求めよ。｣という問題で解き方として最終的に3^2×5^4と3^4×5^2を計算して出てきた答えである5625と2025を答えにするのに
対して例えば｢24の倍数で正の約数の個数が21個である自然数ｎを全て求めよ。｣という問題では2^6×3^2のみを計算して2^2×3^6を計算しなくてもいいのは何故ですか？どなたか教えてください！よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/10 21:12

４５ = (3^2)(5^1) と素因数分解できるので、

45 の倍数は、(3^a)(5^b)c
ただし a は 2 以上の整数、 b は 1 以上の整数、
ｃ は素因数分解に素数 3 と 5 を含まない自然数
という形に表されます。
一方、約数の個数が 15個である数は、
(p^2)(q^4) ただし p と q は素数
という形をしています。
両方の条件を満たす n は、
(3^2)(5^4) と (3^4)(5^2) になります。

24 = (2^3)(3^1) と素因数分解できるので、
24 の倍数は、(2^a)(3^b)c
ただし a は 3 以上の整数、 b は 1 以上の整数、
c は素因数分解に素数 2 と 3 を含まない
という形に表されます。
一方、約数の個数が 21個である数は、
(p^2)(q^6) ただし p と q は素数
という形をしています。
両方の条件を満たす n は、
(2^6)(3^2) だけです。

ふたつめの問題で (2^2)(3^6) が答えにならない理由は、
(2^2)(3^6) では、 a が 3 以上でなくなってしまい
条件を満たさないからです。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/10/10 13:30

45=3²x5 ですから、3²x5⁴, 3⁴x5² は共に 45 の倍数ですが、

24=2³x3 ですから、2²x3⁶ は 24 の倍数にはなりません。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/10 13:03

2^2×3^6　は24の倍数ではないからです