確率の問題

赤３個、白２個入っている袋から２個のボールを取り出すとき２個とも同じ色である確率を求める問題で、
(1)一個を取り出して袋に戻さずもう一個取り出す
(2)二個の玉を同時に取り出す
(3)一個を取り出して袋に戻してもう一個取り出す
の３つの取り出し方があります。(1)と(2)は同じことだと参考書にありました。同じ色に記号をつけて、それぞれ、どういう数え方をするのか、この３つのそれぞれの考え方よかったら教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： nittie 回答日時： 2005/01/31 20:40

(１)は動きを２つにわけて考えます。

ちなみに赤はr、白はwとします。
まず２個とも白である確率から→一つ目の動作の段階で袋の中は(r・r・r・w・w)。５個中２個がwなので、wの出る確率は2/5。で、ボールを戻さずにもう一個取り出す。袋にはボールが全部で4個(r・r・r・w)。そのうちwは１個。よってもう一度wのでる確率は1/4。で両方の確率をかけて2/5×1/4＝2/20＝1/10
同様に、一つ目の動作でrが出る確率。袋の中は(r・r・r・w・w)なので５個中３個がr。よって3/5。で二つ目の動作の段階で袋の中は(r・r・w・w)。よって2/4＝1/2。両方をかけて、3/5×1/2＝3/10
そして２個ともwである確率とrである確率を足して4/10となります。


(2)は(1)の動作を時間差なく行ったものなので確率は一緒になります。

(3)は(1)(2)とは2度目の動作の時の袋の内容が違うので確率も変わります。
両方wの確率は、１回目・２回目とも2/5なので、2/5×2/5＝4/25
両方rの確率は、3/5×3/5＝9/25
これらを足して13/25となります。

No.5 回答者： kazu-si 回答日時： 2005/01/31 21:34

こんばんは、uririnさん

この問題と似た問題で説明します。
男性３人、女性２人の5人のグループでリーダーとサブリーダーをきめる。
(1)リーダーとサブリーダーが同じ性別である確率は？
(2)役職を持つ２人が同じ性別である確率は？
(3)リーダーとサブリーダーの兼任を認めた場合、リーダーとサブリーダーが同じ性別である確率は？
(1)と(2)は基本的に同じ質問ですから、確率は同じになるのは当然です。
しかし、(3)の場合は同じ性別の2人が選ばれる確率に兼任のケースが加わるのでほかのケースより確率はたかくなります。
赤玉を男性、白玉を女性として、最初に選んだ玉をリーダー、2番目に選んだ玉をサブリーダーと考えると最初の問題と同じになると思います。
(3)のケースは1回目と2回目が同じ玉を引く可能性がある分確率が高くなります。
最初の例は余計に混乱させたら申し訳ありません。

No.4 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2005/01/31 21:11

まず（１）と（２）から。

赤３白２の合計５個のボールから２個，順番を気にせず取出す場合全部で何通りあるかと言うと，５Ｃ２＝１０　と１０通です。（実際には５Ｃ２の５と２は下付きの小さい文字でしめします。この計算はわかりますよね？。）

次に赤のみ２個が何通りあるかというと，赤３個中２個の組み合わせになるので，
３Ｃ２＝３通り
白のみ２個は同様に
２Ｃ２＝１通り

同じ色となるのは全部で４通り

ここまでくれば確立何％かわかります。

（３）の場合
ボールを戻すので，常に５個あることになります。
初めのボールは５個のうちどれか，２回目も５個のうちどれかなので，５×５＝２５　通りの組合せがあります。

次に２回とも赤の組み合わせは，初めは３個の赤のうち１つ，２回目も３個の赤のうち１つとなるので，３×３＝９通り。同様に白は２×２＝４通り。合わせて１３通りとなり，こちらも何％となるかわかります。

No.3 回答者： hanabiya 回答日時： 2005/01/31 20:50

(1)と(2)について

結果として袋から2個のボールを取り出し、袋の中のボールが5個から3個になるので、取り出すタイミングにズレはあるけど同じ事となります。
最初のボールが赤だと、次は4個のボールから赤を引く確率を計算します。同様に最初が白だと次に4個のボールから白を引く確率を計算します。両方を足したものが同じ色である確率ということです。
(3)では、取り出したボールを毎回袋に戻すため、取り出す時には何時も5個のボールが袋に入っている状態です。
従って赤、赤となる確率と、白、白となる確率を足せば、同じ色である確率となります。

No.1 回答者： Ideasforlife 回答日時： 2005/01/31 20:24

（３）では，1個目のボールが取り出されるときの袋の中の状態と2個目のボールが取り出されるときのそれが，まったく同じです．これに対して，（１）では，2個めを取り出すときの袋の状態は，ボールが1つ減っているので，1個目を取り出すときとは異なります．

また，同じ色のなる確率を考える場合は，取り出された順序を考慮しなくていいので，（１）と（２）が同じになるわけです．

（１）の場合，5個から1個取り出し，それが白の場合
さらに，残りの4個から1個取り出し，それも白の場合
を求め，同様に赤・赤と続く場合を求めて，赤が出ることと白が出ることは別個の事象なので，これを足し合わせて，求める確率となります．

（３）の場合，5個から1個取り出し，それが白の場合
さらに，また同じく5個から1個取り出し，それも白の場合　と数え，同様に赤が続く場合も計算します．