かけ算と累乗の違いを教えてください！

Question

確率の問題を解いています。
(問題)
10円玉硬貨と5円玉硬貨がそれぞれ3枚あり、合計6枚あります。この6枚の全組み合わせを求めます。
その、6枚の全組み合わせを求めるとき、硬貨一枚につき表、裏の2通りでこれが6枚あるということまでは分かったのですが、なぜ、式が2×6ではなくて、
2×2×2×2×2×2になるのかわかりません、、、

yhr2 · Accepted Answer

＞なぜ、

という前に、実際に数えてみればよい。
それが「論より証拠」。

１枚目から６枚目の表裏の組合せは

「１枚目が表か裏かの２とおり」
その各々に対して「２枚目が表か裏かの２とおり」
その各々に対して「３枚目が表か裏かの２とおり」
その各々に対して「４枚目が表か裏かの２とおり」
その各々に対して「５枚目が表か裏かの２とおり」
その各々に対して「６枚目が表か裏かの２とおり」
がそれぞれ「独立、別々に起こる」のでそれぞれのかけ算になるからです。

実際に「６枚の表裏の組合せ」を数えてみれば（面倒なので表=0, 裏=1 と書きます）
・裏が０個
「0-0-0-0-0-0」
・裏が１個
「1-0-0-0-0-0」
「0-1-0-0-0-0」
「0-0-1-0-0-0」
「0-0-0-1-0-0」
「0-0-0-0-1-0」
「0-0-0-0-0-1」

・裏が２個
「1-1-0-0-0-0」
「1-0-1-0-0-0」
「1-0-0-1-0-0」
「1-0-0-0-1-0」
「1-0-0-0-0-1」

「0-1-1-0-0-0」
「0-1-0-1-0-0」
「0-1-0-0-1-0」
「0-1-0-0-0-1」

「0-0-1-1-0-0」
「0-0-1-0-1-0」
「0-0-1-0-0-1」

「0-0-0-1-1-0」
「0-0-0-1-0-1」

「0-0-0-0-1-1」

・裏が３個
「1-1-1-0-0-0」
「1-1-0-1-0-0」
「1-1-0-0-1-0」
「1-1-0-0-0-1」
・・・・

みたいに。
少なくとも「2 × 6 = 12」よりは多いよね。

サイコロの例だともっと単純に分かりやすいかな。
サイコロ２個なら
「１個目が１～６の６とおり」
その各々に対して「２個目が１～６の６とおり」
なので
　6 とおり × ６とおり = 36 とおり
になります。
　6 とおり × 2 
ではありません。

実際に数えてみれば、２個の目の組合せは
「１と１」「１と２」「１と３」「１と４」「１と５」「１と６」
「２と１」「２と２」「２と３」「２と４」「２と５」「２と６」
　・・・
「６と１」「６と２」「６と３」「６と４」「６と５」「６と６」
の合計 36 とおりですね。

srafp · Answer

では、
5音玉1枚の時はどうなりますか？
答えは2通り
　５円表
　５円裏

次に１０円玉１枚を追加して2枚の硬貨の時は？
答えは4通り［2✖2］
　１０円表+５円表
　１０円表+５円裏
　１０円裏+５円表
　１０円裏+５円裏

更に50円玉1枚を追加して3枚の硬貨の時は?
答えは8通り［2✖2✖2=2✖4］
　50円表+１０円表+５円表
　50円表+１０円表+５円裏
　50円表+１０円裏+５円表
　50円表+１０円裏+５円裏
　50円裏+１０円表+５円表
　50円裏+１０円表+５円裏
　50円裏+１０円裏+５円表
　50円裏+１０円裏+５円裏
これを別の書き方をすると
　50円表に対して2枚の時の組み合わせ　→　4通り
　50円裏に対して2枚の時の組み合わせ　→　4通り

つまり、1枚増えるごとに、前回の組み合わせの2倍になっていく。
だから、2を枚数分だけ掛算することとなる。
「2✖枚数」ではない。

ありものがたり · Answer

「この6枚の全組み合わせ」って何じゃい？
この６枚の「何の」全組み合わせを数えたいのか
書かんと、質問が伝わらんがな。
その日本語力では、数学だけでなく
日常生活にもいろいろ支障があると思うが...

6枚の硬貨が表か裏かの組み合わせを数えたいのならば、
10円硬貨どうし5円硬貨どうしを区別するのかしないのか
くらいは書かんと、問題が特定できん。

正解が 2×2×2×2×2×2 なんだったら、それは
６枚の硬貨を全て区別して数えたことになるが、
だったらなぜ、3枚が10円硬貨で3枚が５円硬貨であることに
言及したんだろう？ 6枚全てを区別するなら、
どれが10円でどれが5円であろうと問題とは関係ないことになる。

kairou · Answer

10円硬貨が 2枚 を A, B,C とし、
5円硬貨が 3枚 を  D, E, F とします。
（逐一 表・裏 書くのがめんどくさいので、〇・△ とします。）
10円硬貨の場合は、(〇〇〇);(〇〇△);(〇△△);(〇△〇);
(△〇〇);(△〇△);(△△〇);(△△△) の 8通りありますね。
5円硬貨についても 同じ様に 8通りあります。
10円硬貨の出方 一つについて 5円硬貨の出方が 8通りありますから、
8x8=64 で 2x2x2x2x2x2=64 と云う事になります。

t_fumiaki · Answer

じゃあ、3枚だったらドーナルか自分で書き出す。
1枚目は表、裏の2通り。
1枚目の表に対して、2枚目は表、裏の2通り。
1枚目の裏に対して、2枚目は表、裏の2通り。
こうやって考える

表-表-表
表-表-裏
表-裏-表
表-裏-裏
裏-表-表
裏-表-裏
裏-裏-表
裏-裏-裏

2×3(6通り)じゃ無くて、2×2×2(8通り)だって直ぐに解る。

masterkoto · Answer

樹形図などをイメージするのです
硬貨A一枚の表裏は2通り
これに硬貨Bが加わると
Bが表の場合Aの出方は
B－A
表ー表
　＼裏
というように2通りに枝分かれします
Bが裏の場合も
B－A
裏ー表
　＼裏
というように2通りに枝分かれします
Bの表、裏で２通りにわかれ、それぞれその枝先がAのところで２通りずつに分かれるので
A,Bの表裏は全部で2x2通りです
ここにCが加わると
C－B－A
表ー表ー表
　　　＼裏
　＼裏ー表
　　　＼裏

C－B－A
裏ー表ー表
　　　＼裏
　＼裏ー表
　　　＼裏

です
Cが表のケースのとき　B-Aの枝分かれが2x2通り
Cが裏のケースでも　B-Aの枝分かれが2x2通り
なんで、Cが加わることで 先ほどのB-Aだけの樹形図の根元に
「Cが表」、「Cが裏」が付け加わり　2x2が2倍に増えて
2x2x2通りになることがわかります

このように、順次増えて6枚になった場合がご質問のケースで
枝分かれの様子から
2x2x2x2x2x2　であることがわかります

かけ算と累乗の違いを教えてください！

＞なぜ、

では、

「この6枚の全組み合わせ」って何じゃい？

10円硬貨が 2枚 を A, B,C とし、

じゃあ、3枚だったらドーナルか自分で書き出す。

樹形図などをイメージするのです

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