方程式の解き方

以下の式があった時にどのようなステップで方程式を解き、nを求めれば良いでしょうか？

2n = 4　のような簡単な一次方程式なら解き方は覚えているのですが、n乗などが混ざった時の解き方がわかりませんでした。階乗なども入っており余計混乱しています。
以下は1つのクラスに誕生日が同じ人がいる確率が50％の場合の式になります。
以下のnを求めたいのですが、エクセルなどを利用するのではなくステップbyステップで解く方法を知りたいです。


1/2 = 1 - 365! / (365^n *(365-n))

ステップbyステップとは例えば、
3x + 4 = 5 の一時方程式であれば、
(1) 3x = 5 - 4
(2) 3x = 1
(3) x = 1/3
のような感じです。

お手数ですが、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/18 12:00

全ての式が解析的に解けるとは限りません。

お示しの式は

1/2 = 1 - 365! / (365^n *(365-n))
↓
365! / (365^n *(365-n)) = 1/2
↓
2 * 365! = 365^n *(365 - n)　　　　②
↓
2 * 365!/365^n = 365 - n

までは変形できます。

ここで、左辺は「正」で、かつおそらく「n は正の整数」でしょうから
　0 < 365 - n < 365
であり、従って
　0 < 365!/365^n < 365/2　　　　①
までは絞り込めると思います。

365! は「とてつもなく大きい数」とはいえ「定数」ですから、それを①の範囲に納める n の範囲は絞り込めると思います。


②の両辺の対数をとれば

log(2) + log(365!) = n*log(365) + log(365 - n)

ここで、左辺の log(365!) は
　log(365!) = Σ[k=1～365]log(k)
で、常用対数だと
　log(1) = 0
　log(365) = 2.56229･･･
ですから、全部足し合わせてもたかが知れています。

従って
　n = {log(2) + Σ[k=1～365]log(k) - log(365 - n)}/log(365)　　③
右辺にも n が残っていますが
　1≦365 - n<365
なので
　0≦log(365 - n)<log(365) ≒ 2.563
であり
　0≦log(365 - n)}/log(365) <1
程度なので、③は
　n ≒ {log(2) + Σ[k=1～365]log(k)}/log(365)
と書けると思います。

プログラム電卓なりエクセルがあれば計算できるかな？

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/18 10:56

〇=△ の形にして、両辺の対数を取れば

n= の式が出来ませんか。
現実的な 数値の答えは、エクセルか電卓に
頼らざるを得ないと思いますが。