sinZ=i (iは虚数単位)の時のzの求め方教えてください

sinZ=i (iは虚数単位)の時のzの求め方教えてください

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/09 11:03

sinZ=i

e^(iZ)=cosZ+isinZ
e^(-iZ)=cosZ-isinZ
e^(-iZ)-e^(iZ)=-2isinZ=2
e^(-iZ)-e^(iZ)=2

{e^(-iZ)-e^(iZ)}^2=4
e^(-2iZ)+e^(2iZ)-2=4
e^(-2iZ)+e^(2iZ)+2=8
{e^(-iZ)+e^(iZ)}^2=8
e^(-iZ)+e^(iZ)=±2√2

e^(-iZ)=1±√2
e^(iZ)=-1±√2
Z=x+iy
とすると
e^(iZ)=e^{i(x+iy)}=e^(ix-y)=e^(-y)(cosx+isinx)=-1±√2

e^(-y)(cosx+isinx)=-1+√2の時
x=2nπ
e^(-y)=-1+√2
e^y=1/(-1+√2)=1+√2
y=log(1+√2)

Z=2nπ+ilog(1+√2)

e^(-y)(cosx+isinx)=-1-√2の時
x=(2n+1)π
e^(-y)=1+√2
e^y=1/(1+√2)=-1+√2
y=log(-1+√2)

Z=(2n+1)π+ilog(-1+√2)

nを任意の整数とする

Z=2nπ+ilog(1+√2)
Z=(2n+1)π+ilog(-1+√2)

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/10/08 14:27

No.2 の方が答（の一つ？）ですが，僕のようなボンクラはオイラーの公式を使うんです。

sin Z=(exp(iZ)-exp(-iZ))/(2i) = i

ですから，exp(iZ)-exp(-iZ)=-2 で x=exp(iZ) とおけば

x^2 + 2x - 1 = 0

から -1±√2 が出てくるわけだ。あとはどうぞご自分で。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/10/08 12:55

sin(Z) = i

Z = arcsin(i)= i × log(1 + √2)

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2021/10/08 11:48

sinZ=i (iは虚数単位)の時

Z=sin⁻¹i