線形独立と線形従属

a1↑= (3, 1, 4)
a2↑= (7-y, y-3, 4)
a3↑= (6, y-2, y+4)
a4↑= (y-1, x+4, y)
に対し
{ a1↑, a2↑, a3↑, a4↑}
における一次独立なベクトルの最大個数が 2 となるように x、y を定める。

　こういう問題、どう解けばいいのでしょうか？
　a2↑かa3↑のどちらか1つがa1↑に対して線形独立、もう一方を線形従属にするような y を求め、それから a4↑をa1↑、a2↑、a3↑を適当に組み合わせて表せばいいのでしょうが、その方法がよくわかりません。
　y をいろいろ仮定して求める方法は行き当たりばったりになりそうな気がします。
　y = 4 のとき
　a2↑= (4, 1, 4)
　a3↑= (6, 2, 8)= 2a1↑
　a4↑= (3, x+4, 4)
　したがって x = -3 のとき、a4↑= a1↑なので
　　x = -3
　　y = 4
　これでいいのかどうか。それに問題が
　一次独立なベクトルの最大個数が 3 となるように x、y を定める。
ならば、そう簡単にはいかないような気がします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/02 14:13

＞ (a) y = -1 のとき

＞ 　a2 = (8, -4, 4)
＞ 　a3 = (6, -3, 3)
＞ なので、a1 とは「独立」である。
＞ 従って、この段階ですでに「一次独立なベクトルの個数が 2」になっているので
＞ a4 = (-2, x+4, -1)
＞ は a1 または a2/a3 のどちらかに「従属」でなければならない。

間違い
↓
a4 は { a1, a2, a3 } に従属でなければならない。
a4 と a1 が従属または a4 と a2/a3 が従属というのとは、違います。

(a-1) (a-2) の場合分けは無意で、
(-2, x+4, -1) = p (3, 1, 4) + q (2, -1, 1) となるスカラー p, q
が存在しなければならない。
-2 = 3p + 2q,　←①
x+4 = p - q,　←②
-1 = 4p + q.　←③
を p, q の連立一次方程式と見ると、① ③ より (p, q) = (0, -1).　←④
これが ② と両立するように、 x = p - q - 4 = -3.

(y, x) = (-1, -3) のとき、 { a1, a2, a3, a4 } のうち一次独立なベクトルは
2個になっている。

④ の解がたまたま p = 0 になっているために
a4 が { a1, a2, a3 } に従属であること
a4 が a2/a3 に従属であることが一致してしまっているが、
(a-1) (a-2) の場合分けは本来
a4 が { a1, a2, a3 } に従属であることを示していません。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2021/11/02 18:51

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/02 17:44

No.2 です。

(a) は #3 さんのご指摘のとおりですね。
「ベクトルに平行」という条件だけで考えていました。
「従属」なので「線形結合で表わせる」という条件にしなければいけませんでした。

この回答へのお礼

詳細な解説ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/02 18:51

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/02 12:28

あなたの求めたものは

　a2↑= (3, 1, 4)
の計算間違いなので、「全てが従属」のケースです。
確かに「一次独立なベクトルの個数が 0」なので 「一次独立なベクトルの最大個数が 2」の条件を満たしてはいますが、それが全てではありません。
a1～a3 は「従属」と分かっているので、a4 は独立でも従属でも条件を満たすので、
　x は全ての実数
というのが答でしょう。


＞こういう問題、どう解けばいいのでしょうか？

問題が「一次独立なベクトルの最大個数が 2 となるように」ということなので、
・すべてが従属である（この一つがあなたが求めたもの）
　= 一次独立なベクトルの個数が 1
または
・どれか2つが「独立」であったとしても、他の2つはそのどちらかに「従属」である
　= 一次独立なベクトルの個数が 2
のどちらかの条件を満たすものを求めるということでしょう。

ここで「独立」は「同じでない」、「従属」は「同じである」ということなので、「従属」の方がピンポイントで条件が定まります。
ということで、上の「従属かどうか」ということを調べていけばよいです。

まずは、a2, a3 が「変数は y のみ」なので、「従属かどうか」を調べれば、a2, a3 が「従属」である条件は、実数 k に対して
　7 - y = 6k　　　　　①
　y - 3 = k(y - 2)　　　②
　4 = k(y + 4)　　　　③
が成り立つことです。
①より
　k = (7 - y)/6
として②③に代入すれば
②→　y - 3 = (y - 2)(7 - y)/6
　→　6y - 18 = -y^2 + 9y - 14
　→　y^2 - 3y - 4 = 0
　→　(y - 4)(y + 1) = 0
　→　y = -1 または y = 4

③→　4 = (y + 4)(7 - y)/6
　→　24 = -y^2 + 3y + 28
　→　y^2 - 3y - 4 = 0
　→　(y - 4)(y + 1) = 0
　→　y = -1 または y = 4

従って、y = -1 または y = 4 のとき a2, a3 は「従属」、
y ≠ -1 かつ y ≠ 4 のとき a2, a3 は「独立」
となります。

(a) y = -1 のとき
　a2 = (8, -4, 4)
　a3 = (6, -3, 3)
なので、a1 とは「独立」である。
従って、この段階ですでに「一次独立なベクトルの個数が 2」になっているので
　a4 = (-2, x+4, -1)
は a1 または a2/a3 のどちらかに「従属」でなければならない。

(a-1) a4 が a1 に従属のとき
実数 p に対して
　-2 = 3p
　x + 4 = p
　-1 = 4p
となる p は存在しません。
従って、a4 は a1 に従属となることはない。

(a-2) a4 が a2/a3 に従属のとき
実数 ｑ に対して
　-2 = 8q
　x + 4 = -4q
　-1 = 4q
従って
　q = -1/4
　x = -3
のとき、a4 は a2/a3 に従属となる。

(b) y = 4 のとき
　a2 = (3, 1, 4)
　a3 = (6, 2, 8)
なので、a1 に「従属」である。
従って、この段階では「一次独立なベクトルの個数が 1」なので、a4 は a1/a2/a3 に「独立」であっても「従属」であっても「「一次独立なベクトルの最大個数が 2」という条件を満たす。
よって、x は全ての実数でよいことになる。

(c) y ≠ -1 かつ y ≠ 4 のとき
　a2 と a3 は「独立」なので、すでに「一次独立なベクトルの個数が 2」になっている。
従って、a1 も a4 も、この2つのどちらかに「従属」でなければならない。

(c-1) a4 が a2 に従属なとき
実数 s に対して
　y - 1 = s(7 - y)　　　④
　x + 4 = s(y - 3)　　　⑤
　y = 4s　　　　　　　⑥
従って⑥より
　s = y/4
として④に代入すれば
　y - 1 = y(7 - y)/4
→　4y - 4 = 7y - y^2
→　y^2 - 3y - 4 = 0
→　(y - 4)(y + 1) = 0

「y ≠ -1 かつ y = ≠4 のとき」という条件なので、これが成立することはない。

(c-2) a4 が a3 に従属なとき
実数 t に対して
　y - 1 = 6t　　　　　⑦
　x + 4 = t(y - 2)　　　⑧
　y = t(y + 4)　　　　　⑨
従って⑦より
　t = (y - 1)/6
として⑨に代入すれば
　y = (y + 4)(y - 1)/6
→　6y = y^2 + 3y - 4
→　y^2 - 3y - 4 = 0
→　(y - 4)(y + 1) = 0

「y ≠ -1 かつ y = ≠4 のとき」という条件なので、これが成立することはない。

従って、「y ≠ -1 かつ y ≠ 4 」ときに a4 が a2 または a3 に「従属」となることはなく、「一次独立なベクトルの個数」は３以上となる。

以上より、「一次独立なベクトルの最大個数が 2 」となる条件は
・y=4、このとき x は任意の実数
・y=-1, x=-3

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/02 11:22

a1↑=(3,1,4)

a2↑=(7-y,y-3,4)
a3↑=(6,y-2,y+4)
a4↑=(y-1,x+4,y)

y=4のとき
a2↑=(3,1,4)=a1↑
a3↑=(6,2,8)=2a1↑
a4↑=(3,x+4,4)
したがって
x = -3 のとき、
a4↑= a1↑なので

一次独立なベクトルの最大個数は1となるので

x=-3ではありません
y=4のとき
x≠-3

この回答へのお礼

回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2021/11/02 18:51