幾何学の問題

幾何学の問題で、解き方(途中式もお願いします。)を知りたいです。

m×n行列aに対して、線形写像Ta(x):R^n→R^mをTa(x):=axで定める。

|1 0 -1 0 -2|
a=|0 1 1 0 1|
|-1 0 1 1 1|
|2 1 -1 0 -3|

とする。

(1)aを簡約化せよ。(行基本変形により、簡約行列に変形する。)

(2)Im Taの基底と次元を求めよ。

(3)Ker Taの基底と次元を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/16 16:05

(1)

a
=
(1,0,-1,0,-2)
(0,1,1.,0,1.)
(-1,0,1,1,1.)
(2,1,-1,0,-3)
第3行に第1行を加えると
(1,0,-1,0,-2)
(0,1,1.,0,1.)
(0,0,0.,1,-1)
(2,1,-1,0,-3)
第4行に第1行*(-2)を加えると
(1,0,-1,0,-2)
(0,1,1.,0,1.)
(0,0,0.,1,-1)
(0,1,1.,0,1.)
第4行から第2行を引くと
(1,0,-1,0,-2)
(0,1,1.,0,1.)
(0,0,0.,1,-1)
(0,0,0.,0,0.)
第2行と第3行を入れ替えると
(1,0,-1,0,-2)
(0,1,1.,0,1.)
(0,0,0.,1,-1)
(0,0,0.,0,0.)

(2)
aの
第1列a1=(1;0;-1;2)
第2列a2=(0;1;0;1)
第3列a3=(-1;1;1;-1)
第4列a4=(0;0;1;0)
第5列a5=(-2;1;1;-3)
xa1+ya2+za4=0
とすると
xa1+ya2+za4=(x;y;z-x;2x+y)=0
x=y=z=0となるから
(a1,a2,a4)は線形独立

a3=(-1;1;1;-1)=a2(0;1;0;1)-a1(1;0;-1;2)
a5=(-2;1;1;-3)=a2(0;1;0;1)-2a1(1;0;-1;2)-a4(0;0;1;0)
だから

Im(Ta)の基底は{a1,a2,a4}=
{(1;0;-1;2),(0;1;0;1),(0;0;1;0)}
次元は3

(3)
x=(x1;x2;x3;x4;x5)∈Ker(Ta)とすると
(1)から
Ta(x)
=
(1,0,-1,0,-2)(x1)=(0)
(0,1,1.,0,1.)(x2).(0)
(0,0,0.,1,-1)(x3).(0)
(0,0,0.,0,0.)(x4).(0)
.............(x5).(0)

x1-x3-2x5=0…①
x2+x3+x5=0…②
x4-x5=0
↓両辺にx5を加えると
x4=x5…③
↓これを②に代入すると
x2+x3+x4=0…④
③を①に代入すると
x1-x3-2x4=0…⑤
④の両辺に2をかけると
2x2+2x3+2x4=0
↓これを⑤に加えると
x1+2x2+x3=0
↓両辺に-x1-2x2を加えると
x3=-x1-2x2
↓これを④に代入すると
x2-x1-2x2+x4=0
-x1-x2+x4=0
↓両辺にx1+x2を加えると
x4=x1+x2
↓これと③から
x5=x1+x2

(x1;x2;x3;x4;x5)
=(x1;x2;-x1-2x2;x1+x2;x1+x2)
=(x1;0;-x1;x1;x1)+(0;x2;-2x2;x2;x2)
=x1(1;0;-1;1;1)+x2(0;1;-2;1;1)

Ker(Ta)の基底は
{(1;0;-1;1;1),(0;1;-2;1;1)}
次元は2