No.5ベストアンサー
- 回答日時:
周期T0の周期関数x(t)(x(t+T0)=x(t))は一定の条件(ディリクレの条件)を満たせば、フーリエ級数展開できます:
x(t) = a_0/2+Σ(a_ncos(nt/T0)+b_nsin(nt/T0))(n=1~∞)
ここで、cos(nt/T0)とsin(nt/T0)は周期T0/nの等速円運動のx成分とy成分です。つまり、任意の周期関数は周期T0/n(n=1~∞)の円運動の重ね合わせでかけます。No.3さんの例もこのようにかけます。この意味で、全ての周期関数は円と関係していると言えます。
No.6
- 回答日時:
「円上で定義されているのではない周期関数が存在するか」ということは「円とは異なるコンパクトLie群上でフーリエ解析が可能か」と言替えることができます。
数学でこのような分野は調和解析と呼ばれています。円ではパラメータが中心周りの角度一つしかないのにたいし、一般のコンパクトLie群ではパラメータが複数でしかも非可換になります。調和解析の基礎になるのが、群G上関数空間L^2(G)を表現空間とする直積群G×Gのユニタリ表現を既約分解する公式を与えるPeter-Weylの定理です。この定理は群G上の任意の関数を群に内在する「良い関数」で近似する定理とも解釈できます。「良い関数」というのは円の場合は三角関数であり、SU(2)の場合は球面調和関数です。No.4
- 回答日時:
複素解析の方では楕円関数という周期関数があります.
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