a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}と f(z)=1/

a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}と
f(z)=1/{(z+1)(z-1)}
に関して、
mはn-1との事ですが、m=nではないのになぜ
「a(m)=(1/(m+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(m+1){1/(z+1)}
(mは-1以上の整数)
mをnに置き換えると
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
(nは-1以上の整数)」
と出来たのでしょうか？
また、新しく書かれたg(z)を微分する過程の計算で以下の様に

「g(z)=1/(z+1)とする
↓微分する(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分する(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分する
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
↓微分する
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分する
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分する

g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

k=n+1とすると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)...③」
k=n+1が書かれてありますが、これは間違いであり、正しくはk=1という事でしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足ですいません。
  「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  
  (d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  」
  に関しても、たまたま正しい答えが導けただけで間違いだったという事で良いでしょうか？
  
  正しくは(d/dz)^(n){g(z)}=n!{(-1)^n}/(z+1)^(n+1)という事で。

    補足日時：2022/02/03 19:19

• また、n≧-1の時の不等式|z-1|<rとありますが、
  
  どこから|z-1|<rは出てきたのでしょうか？
  
  最後に
  
  n≦-2の時のzとrの不等式はどう作れば良いでしょうか？

    補足日時：2022/02/09 19:42

• ii)
  a=1
  r>2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  として、
  n≦-2の時にz=1が考慮されないのかがわかりません。
  というのも、z=1と仮定します。
  
  n≦-2を変形して、
  -n-2≧0とする。
  
  -n-1-1≧0
  -n-z-z≧0
  -n-z-z≧0
  -n-2z≧0
  -n≧2z
  n≦-2zとなり、z=1と置いたので、
  n≦-2と導け、
  
  また、zが1の時rは|z-1|<rと仮定して
  |z-1|<rのzに1を代入すると0<rとなり、
  ii)のr>2が成り立ちます。
  なので、|z-1|<rと置けてzは1ともなるためです。
  
  どうか、なぜz=1が含まれないか教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2022/02/10 09:02

• ありがとうございます。最後に以下の「」に関して質問があります。
  
  「i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  とすると
  
  n≦-2の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
  a(n)=0
  
  n≧-1の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
  a(n)
  =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  =-1/(-2)^(n+2)」
  とありますが、上のi)とii)に関して、zとrの不等式は|z-1|<rでしょうか？

    補足日時：2022/02/10 20:19

• また、i)の時はa(n)=0ですが、0になるまでの過程の計算などはないのでしょうか？
  
  「n≦-2の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
  a(n)=0」
  と過去に書いて頂いたのですが、正則だからa(n)=0というのがわかりませんでした。
  
  出来れば先程書いていただいた以下のように説明して頂けるとありがたいです。
  「z→1 の時
  -n-2≧0だから
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　の分母は0にならないから
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　は収束し
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　は z=1で正則だから
  z=1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない
  z=1は極ではない」
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/02/10 20:20

• ちなみに、なぜi)に関しては
  rの範囲が0<r<2だとわかり、
  また、なぜ0<r<2の時にrとzの関係が
  |z-1|=rだとわかったのでしょうか？
  
  出来れば|z-1|<rではない理由も教えて頂ければと思います。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/02/11 01:03

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、0<r<2に関して、
  rは半径であり正の値なのでrが0より大きいはわかるのですが、
  なぜ2までの範囲としたのでしょうか？

    補足日時：2022/02/11 07:29

No.16 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/12 04:02

違います

「
i)かつ0<r<2の時の特異点はz=1
」
ではなく

i)かつ0<r<2の時の
積分経路
C={z;|z-1|=r}
に囲まれた
D={z;|z-1|<r}
の特異点は
z=1
なのです

z=-1　は　|z-1|=|-1-1|=2>rだからDの特異点ではありません

特異点を通ると分母が0になるため

積分経路
C={z;|z-1|=r}
では
z≠1 かつ　z≠-1
でなければなりません

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/11 13:12

違います

|z-1|=r　は積分経路です

0<r<2の時は
積分経路|z-1|=rに囲まれた
|z-1|<r
に
1/(z^2-1)の
極は
z=1
だけ
です

z=1の時|z-1|=|1-1|=0<r だから|z-1|<r　です
z=1の時|z-1|=r　になりません違います


z=-1　の時f(z)=1/(z^2-1)の分母が 0　となるから
z=-1の時 |z-1|=|-1-1|=2　だから
z≠-1 とするように
0<r<2
|z-1|=r<2
としたのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「z=-1　の時f(z)=1/(z^2-1)の分母が 0　となるから
z=-1の時 |z-1|=|-1-1|=2　だから
z≠-1 とするように」に関して、
なぜi)かつ0<r<2の時の特異点はz=1なのに、z≠1ではなく、z≠-1なのでしょうか？
特異点を通ると分母が0になるため、z≠1だと思ったのですが。

また、
0<r<2とr=|z-1|に関して、z=1として、
r=|1-1|はr=0となり、0<r<2の範囲に入らないのですが、私は何を間違えているのでしょうか？

お礼日時：2022/02/11 23:05

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/11 04:09

f(z)=1/(z^2-1)

のz=1の周りでのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
だから
r
が何であろうと
積分経路は
|z-1|=r
なのです
|z-1|=rで正則でなければ積分できないのです

f(z)=1/(z^2-1)
の
特異点は
z=1
z=-1
の2つあるのだけれども

積分の値は
積分経路|z-1|=rが囲む内部
|z-1|<r
に極(特異点(正則でない点))がいくつあるかによって
決まるのです

0<r<2の時は
|z-1|<r
に
1/(z^2-1)の
極は
z=1
だけ

r>2の時は
|z-1|<r
に
1/(z^2-1)の
極は
z=1
z=-1
の2つ

だから
f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開は
0<|z-1|<2,(|z-1|=r,0<r<2)の場合と
|z-1|>2,(|z-1|=r,r>2)の場合で
異なるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

0<r<2の時は
|z-1|<r
に
1/(z^2-1)の
極は
z=1
だけ
に関して、|z-1|<rの部分は正しくは|z-1|=rだと思うのですが、|z-1|<rなのでしょうか？

お礼日時：2022/02/11 06:36

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/10 21:06

a=1

0<r<2
f(z)=1/(z^2-1)
だから
C={z||z-1|=r}
だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
だから
|z-1|<rではありません

|z-1|=r
です

n≦-2の時

n≦-2
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
↓左右を入れ替えると
-n-2≧0

1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
=
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

z→1 の時
-n-2≧0だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　の分母は0にならないから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　は収束し
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　は z=1で正則だから
z=1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない

|z-1|=r<2
だから
|z-1|≦r<2
の範囲には
z=-1
は存在しないから

z=-1は
|z-1|≦r<2では
(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない

(z-1)^(-n-2)/(z+1)は|z-1|<2で正則だから

コーシーの積分定理から
∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
{1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
特異点は関係なく(z-1)^(-n-2)/(z+1)は|z-1|<2で正則であるため、要は微分可能な複素関数であるため、コーシーの積分定理も微分可能な複素関数であるため、コーシーの積分定理の公式にg(z)を代入して、∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0として、a(n)の式の形{1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0に持っていき、a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
としたため、
a(n)=0と出来たとわかりました！

お礼日時：2022/02/11 00:54

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/10 19:21

n≦-2の時

n≦-2
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
↓左右を入れ替えると
-n-2≧0

1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
=
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

z→1 の時
-n-2≧0だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　の分母は0にならないから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　は収束し
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　は z=1で正則だから
z=1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない
z=1は極ではない

z→-1 の時
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　の分母は0になり
(z-1)^(-n-2)/(z+1)　は発散し
z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点だから

(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
z=-1
のみだけ
で1位の極をもつ

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/09 21:04

n≦-2の時

1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
=
(z-1)^(-n-2)/(z+1)

-n-2≧0 だから

は
r>2に対して
|z-1|<r
で

z=-1
のみだけ
で1位の極をもつとわかるのです

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
r>2に対して
|z-1|<r
で
z=-1で1位の極
z=1でn+2位の極
の2つの極をもつのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、-n-2≧0のnと
r>2,|z-1|<rのrやzはどのような関係なのでしょうか？
というのも、-2≧nの時にz=-1のみになるのかわかりません。

お礼日時：2022/02/10 07:51

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/09 10:49

違います

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は
「
n=-1
」
でも
「
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}①
」
でもありません

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は

n≧-1

nは-1以上の全ての整数で

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

となるです

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
は
「
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}①
」
には関係ありません

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
g(z)はz=-1で1位の極をもつのだから

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=-1で1位の極をもつから...
以上に関して、なぜzは-1のみだけとわかったのでしょうか？

お礼日時：2022/02/09 19:37

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/09 04:10

違います

「
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は
n=-1
」
ではありません

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は

n≧-1

nは-1以上の全ての整数です
です
「
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}①より①の{1/(n+1)!}は
nが-1であるため分母が0にるため消えて、
」
も間違いです
{1/(n+1)!}はn=-1の時は　0!=1だから　{1/(n+1)!}=1/0!=1
{1/(n+1)!}はn=0の時は　1!=1だから　{1/(n+1)!}=1/1!=1
{1/(n+1)!}はn=1の時は　2!=2だから　{1/(n+1)!}=1/2!=1/2
{1/(n+1)!}はn=2の時は　3!=6だから　{1/(n+1)!}=1/3!=1/6
…
となり
消えることはありません

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/09 04:04

違います

「
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は
n=-1
」
ではありません

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は

n≧-1

nは-1以上の全ての整数です
です
「
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}①より①の{1/(n+1)!}は
nが-1であるため分母が0になるため消えて、
」
も間違いです
{1/(n+1)!}はn=-1の時は　0!=1だから　{1/(n+1)!}=1/0!=1
{1/(n+1)!}はn=0の時は　1!=1だから　{1/(n+1)!}=1/1!=1
{1/(n+1)!}はn=1の時は　2!=2だから　{1/(n+1)!}=1/2!=1/2
{1/(n+1)!}はn=2の時は　3!=3だから　{1/(n+1)!}=1/3!=1/3
…
となり
消えることはありません

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/04 05:42

「

k=1として

(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
の
「
k=1として
」
は誤りです


やはり
「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
で
使った変数kを
勝手に
k位の極
の
k
だと断定し混同しているので

「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
は
誤りです
誤った答えはできません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

今更なのですが、

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)+{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)
=0
のRes(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)に関して
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)は厳密には
n=-1かつ
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}①より①の{1/(n+1)!}はnが-1であるため分母が0にるため消えて、
1/(z-1)の指数は(n+1+1)となるため
lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となるとはわかるのですが、①の{1/(n+1)!}はnが-1であるため分母が0にるため消えるという考えは正しいでしょうか？

お礼日時：2022/02/09 01:52