二つの関数u(t),v(t)が一次従属ならばu(t)v'(t)-u'(t)v(t)=0 の証明の方法

二つの関数u(t),v(t)が一次従属ならばu(t)v'(t)-u'(t)v(t)=0

の証明の方法を教えて頂きたいです。
教科書の問題を解いているのですが、教科書の略解には省略されてしまっています。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/06 14:12

高校生なら、商の微分公式かな。

u(t) が恒等的 0 なら、 u(t), v(t) は一次従属だが、
u(t) = u’(t) = 0 なので u(t)v'(t) - u'(t)v(t) = 0.
u(t) が恒等的 0 でないなら、 u(t), v(t) が一次従属は v(t)/u(t) = 定数 と書けるが、
この式の両辺を微分して { u(t)v'(t) - u'(t)v(t) }/u(t)^2 = 0.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/06 00:26

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%B3 …
って話?