微分方程式の問題です

微分方程式の問題です。
Ady/dx=(y-B-x)/x
解放と答えを教えていただけますと幸いです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/18 00:02

1.

A=0 のとき
　y=B+x・・・・・・①
が解。

2.
以下では、
　A≠0 とする。

　Y=y-B
とおく。すると与式は
　AY'=(Y-x)/x=Y/x-1
となる。つぎに
　u=Y/x
とおくと
　Y'=u+u'x
だから
　A(u+u'x)=u-1 → Au'x=(1-A)u-1・・・・・・②
ここで、A=1 とすると
　u'x=-1 → u'=-1/x → u=-log|x|+C
　 → Y=-x(log|x|+C) → y=B-x(log|x|+C)・・・・・③

3.
以下では　A≠0,1 とする。②から
　 → u'x=(1/A-1)u-1/A=(1/A-1){u-1/(1-A)}
　 → [1/{u-1/(1-A)}]u'=(1/A-1)/x

変数分離だから積分して
　 → log|u-1/(1-A)|=(1/A-1)log|x|+C=log|x|^(1/A-1)+C
　 → {u-1/(1-A)}/|x|^(1/A-1)=C
　 → u-1/(1-A)=C|x|^(1/A-1)

上式で、C=0 とした、u=1/(1-A) も①に入れると解とわかる。これと
±e^Cをまとめて、改めてCとした。すると

　 → Y/x=1/(1-A)+C|x|^(1/A-1)
　 → y=B+x/(1-A)+Cx|x|^(1/A-1)・・・・・④

4.
以上をまとめると①③④から
　y=B+x　　　　　　　　　　　　　(A=0 のとき)
　y=B-x(log|x|+C)　　　　　　　　(A=1 のとき)
　y=B+x/(1-A)+Cx|x|^((1/A)-1)　(A≠0,1 のとき)

この回答へのお礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございました！

お礼日時：2022/05/18 13:32