半周期の強制振動

なめならか水平面で、ばね定数kのばねにつながれた質量mの物体を cos(kt) の力で強制振動させるときの微分方程式は
　　mx" + kx = cos(kt)
でいいと思うのですが、ばねが伸びる方向だけに cos(kωt) の力で強制振動させるとき（縮む方向は単振動になるはず）の微分方程式はどう立てればいいのでしょう？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/23 23:03

ご承知のとおり、「運動方程式」とは、「働く力」と「物体の運動の変化（つまり加速度）」との関係を示すものです。

そのときの「比例定数」が「質量」です。
それは
　F = ma = mx''　　　①
という関係。

強制振動のないバネなら、働く力はバネの復元力
　f = -kx
だけですから、この力を①に代入して
　mx'' = -kx 　　　　②
が運動方程式になります。

これに「強制振動」のちから F' が加われば、働く力は
　f + F' = -kx + F'
になるので、運動方程式①は
　mx'' = -kx + F'　　　　③
となります。
この強制振動の力が
　F' = cos(pt)
であれば、③は
　mx'' = -kx + cos(pt)
となり、たまたま p=k であれば
　mx'' = -kx + cos(kt)
になります。

x と t の関係がどうなるのかはわかりませんが、
　x ≧ 0 のとき F' = cos(kt)
　x < 0 のとき F' = 0
として③に代入すれば、お望みの運動方程式が得られます。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2022/05/23 23:57