No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(与式)=x^2+2(y-2)x+5y^2-8y+5
=x^2+2(y-2)x+(y-2)^2-(y-2)^2+5y^2-8y+5
={x+(y-2)}^2-(y^2-4y+4)+5y^2-8y+5
=(x+y-2)^2+4y^2-4y+1
=(x+y-2)^2+(2y-1)^2
よって、実数の平方の話で表されるので、(与式)≧0が成り立つ。
等号成立はx+y+2=0かつ2y-1=0より
x=3/2, y=1/2
細かい計算は違うかもしれませんが、文字二つが複雑に絡み合った
不等式の証明は、このようにして平方の話にするのが基本です。
ご回答ありがとうございます。
(与式)=x^2+2(y-2)x+5y^2-8y+5
=x^2+2(y-2)x+(y-2)^2-(y-2)^2+5y^2-8y+5
のあたり(特に2(y-2)xのあたり)の式変形の運び方が私には思い付きかねるのですが、何か良い方法はないのでしょうか?
与式を見た感じでは、(ax+by+c)^2など、様々な、与式から予想される平方の和の形が存在すると考えると、なかなか(ax+by+c)^2+(dy+e)^2の形を思い付くのが難しいです。
お礼文中に申し訳ないですが、良い方法があれば教えて下さい。
No.8
- 回答日時:
全く以て申し訳ないことにまだチョンボがありました。
> (1) ∀y∃x (f(x,y) ≧0)である。
> (3-1) ∃y (D(y) ≦ 0)
ではダメで、 正しくは
(1) ∀y∃x (f(x,y) >0)である。
(3-1) ∃y (D(y) < 0)
です。証明は同じ。
No.7
- 回答日時:
shroederさん< おぼれ…ぶくぶくぶく…
~なんて、全然。偏微分を多少ともご存じならすぐにピンと来るはずですけど、2変数関数だと思うからおかしくなるんですよ。
yを固定して考えれば1変数。つまり、y軸に垂直な面で切った断面で考えるんです。で、yの値を幾らに固定しても(つまりどこで切っても)「重解もしくは解なし」ならば問題は解決って訳です。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、実はNo.5にはチョンボがあります。
> (1) ∃x∃y (f(x,y) ≧0)である。
では駄目で、
(1) ∀y∃x (f(x,y) ≧0)である。
を示す必要があります。いや勿論、簡単です。
証明:x=0として
f(0,y)=5y^2 -8y +5
これは判別式=((-4)^2)-5×5 < 0
ですから、f(0,y)はいつでも符号は同じで、f(0,0)≧0。だから
∀y f(0,y)≧0
によって、(1)が証明されました。
以上、訂正です。
No.6
- 回答日時:
stomachmanさん、技におぼれましたね。
2変数の関数が重解であるというのは意味をなさないでしょう
たとえば x^2+y^3 の場合 (0,0)は重解ですか?
この場合は他の人の解答の方が普通でしょう。
どんな方法でやっても変数を1つ減らせば、残りは完全平方
になるように問題が選んであります。
線形代数の2次形式の対角化からとって来た問題でしょう。
No.5
- 回答日時:
どうも本筋でない話になってるんじゃ?
式の変形のテクニックやアイデアなど全く無用の、機械的に処理できる何でもない問題ですよ。
f(x,y)=x^2 + 2xy + 5y^2 -8y -4x +5
と書くことにすれば、
(*) ∀x∀y (f(x,y) ≧0)
を示すには
(1) ∃x∃y (f(x,y) ≧0)である。
(2) xについての方程式(つまりyを定数だと思えばよいのです。)
f(x,y)=0
が、yがどんな値であっても実数解を持たないか、持っても重解である。
この(1)(2)を示せば良い訳です。まず(1)ですが、これは(*) が成り立つのならx,yに何をいれても負になるはずですから、(x,y)=(0,0)としてみると
f(0,0) = 5 ≧0
これで(1)が証明されました。
さて(2)は言い換えればxについての判別式D(y)
D(y)=(y-2)^2-(5y^2 -8y +5)
=-4y^2+4y-1
が、どんなyについても正にならないこと
(3) ∀y(D(y) ≦ 0)
を証明すればよい。これまた
(3-1) ∃y (D(y) ≦ 0)
(3-2) 方程式
D(y)=0
が解を持たないか、持っても重解である。
この(3-1)(3-2)を示せば良い。まず(3-1)は
D(0) = -1 ≦ 0
です。次に(3-2)は、言い換えれば判別式が正にならないことを示せばよい。実際やってみると
判別式=(2^2)-(-4)(-1)=4-4=0
以上から、(3-1)(3-2)が証明されたので、(3)が証明された。つまり(2)が示された。
(1)(2)が証明できたから、(*)の証明はおしまいです。
No.4
- 回答日時:
すでに回答はあるので補足です。
No1 のお礼で
>(特に2(y-2)xのあたり)の式変形の運び方が私には思い付きかねるのですが、
>何か良い方法はないのでしょうか?
とありますが、sketch さんの回答はまずxを変数yを定数と見て
xについての2次式として平方完成を行なっています。
そのあとで、yについても平方完成を行なっているわけです。
今の場合先にxを変数としてみたほうがやりやすいですが
あえてyを先にやると
x^2 + 2xy + 5y^2 - 8y - 4x + 5
=5y^2 +2(x-4)y + x^2 -4x +5
=5{y+(x-4)/5}^2 + (4x^2 - 12x + 9)/5
=5{y+(x-4)/5}^2 + 4/5*(x-3/2)^2
のようになります。
最後の形は異なりますが、どちらを先にやっても証明できています。
No.3
- 回答日時:
懐かしいですねー。
僕も頭がさび付いてしまっていそうだったので
暇潰しに解いてみました。
もうsketchさんが解かれてしまったので回答はいらなそうですが、
式の変形が思いつかないということでちょっとしたアドバイス。
平方の和に持っていくというのは式を見たときに予測がつくと思いますので
あとは変形なのですが
僕の場合
x^2 + 2xy + 5y^2 - 8y - 4x + 5
= (x+y)^2 + 4y^2 - 8y - 4x + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) -4y + 4y^2 + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) + 4y^2 -4y + 5
= (x+y)^2 -4(x+y) +(2y-1)^2 + 4
= (x+y)^2 -4(x+y) + 4 + (2y-1)^2
= (x+y-2)^2 + (2y-1) ^2
という経過を経ました。
とりあえず(x+y)^2はすぐに出てきますよね。
あとは(x+y) = a と考えて
(a+b)^2の形に持っていけるように無理やり(x + y)を作ってやると
a^2 -4a -4y + 4y^2 + 5
になるので、(a^2 -4a +定数1)と(4y^2 -4y +定数2)が
(定数1)+(定数2) = 5をみたしつつそれぞれ平方の形になるように考えてやればよいと気付くでしょうから
(a^2 -4a +定数1) -> (a -2)^2
(4y^2 -4y +定数2)-> (2y -1)^2
で上手くいきますね。
あとはaに x+y を戻してやれば出来上がりです。
なるほど、確かにそう考えると(x+y-2)^2+(2y-1)^2にたどり着けますね。
わかり易く説明して頂いて、嬉しくおもいます。
ありがとうございます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 大学受験 お急ぎの質問です。 現在高3受験生です。次の金曜日に明治大学総合数理学部(現象数理科)の学部別試験が 3 2023/02/13 23:38
- 高校 高校のレポート課題で (1)◯◯がなぜ成り立つのか説明せよ (2)(1)に対しての納得度を評価し、そ 2 2022/04/12 21:51
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 大学・短大 2変数関数の証明問題 2 2023/01/10 13:14
- 予備校・塾・家庭教師 塾で宿題をやらない小学生について 6 2022/11/08 12:15
- 数学 通信制高校生です。 数学の問題集を解く時、二次関数のような単元でなくても、全て証明?説明?をするべき 2 2023/01/21 18:08
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 予備校・塾・家庭教師 高三英検4級レベルにも満たないかもしれません。 明日進研模試(マーク)ですが偏差値30行かないと思い 2 2022/05/29 17:25
- 発達障害・ダウン症・自閉症 【画像あり】中3の受験期に解けなかった問題について。n,n+1,n+2,n+3…という文字式の証明と 1 2022/08/04 15:48
- 数学 整数問題 19 島根大学 2 2023/05/29 07:47
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
次元定理以外で
-
帰納法
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
証明終了の記号。
-
不完全微分であることの証明
-
中心角の定理
-
四葉のクローバー この言葉一度...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
ブール環
-
元カレと再婚した方ってなかな...
-
フェルマーの最終定理。 数学者...
-
a1=√2,a(n+1)=√(2+an)が単調増...
-
中学2年程度数学3ケタの自然数...
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
2+3=5
-
結婚して1か月して、初めて主...
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
非該当証明書と該非判定書とい...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
証明終了の記号。
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
学割定期を親に買ってきてもら...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
再婚、奨学金
-
素数の性質
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
成人した後両親が離婚し別の人...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
直角三角形の性質
-
通学証明書の契印とは
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報