解と係数との関係の問題で質問です。 解のひとつは-2だからの所が分かりません。 どうやって求めたら-

解と係数との関係の問題で質問です。
解のひとつは-2だからの所が分かりません。
どうやって求めたら-2になるのか教えてください。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/03 13:32

NO3 です。

α+β=p, αβ=6 とすれば、
(α+β)³＝α³+β³+3αβ(α+β) で、
α³+β³=28 → (α+β)³-3αβ(α+β)=28 から、
p³-18p-28=0 ですね。

ここで、p=-2 が 解の1つだと分かるのは、
定数項の 28 を 素因数分解すると、
28=2x2x7 ですから、
小さい方の ±1, ±2 を p に代入すると、
p=-2 とすれば、-8+36-28=0 となり、
上の式が 成り立つことが分かります。
この作業で 「1つの解が p=-2 と分かる」と云う事です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/03 11:23

微分すると

f'(p)=3p²-18p
だから±√6で極大・極小

f(-√6)=-6√6+18√6-28≒1.4
だから-2.4付近に解がありそう。

あとはあてずっぽで探す。(^_^;)

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/07/03 11:11

このように解を見つけて因数分解できます

因数定理と
呼ばれます

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/03 11:10

解の1つが -2 といういことは、

元の式に x=-2 を代入すれば、式の値が 0 になると云う言事。
x=-2 だから x+2=0 で、元の式は (x+2) と云う因子を持つはずです。

その上の p³-18-28=0 は 変ですね。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/07/03 11:10

で、Pの探し方

±定数項の約数/三次の項の係数
が代入してみる候補です

今回は三次の約数は1だけなので
分母＝1
定数項の約数は
1 2 4 7 14 28
なので
分子にはこれらを当てはめて
代入候補が決まります

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/07/03 11:04

Pの三次方程式に

P＝１や
P＝2
などを代入して
＝0になるものを探した結果
P＝2が見つかると言うことです
方程式を成り立たせる
P＝2は解であると言えます