非対称三相交流について

以下の問題について教えてください。
非対称三相交流の電力は、電圧と電流の対称分(零相、正相、逆相)を用いると次式で与えられることを示せ。
。P=Re[Va*Ia+Vb*Ib+Vc*Ic]=3×Re[V0*I0+V1*I1+V2*I2]
各パラメータはVa、Vb、Vcは非対称な三相の相電圧、Ia、Ib、Icは非対称な三相の線電流、V0、V1、V2は相電圧の対称分、I0、I1、I2は線電流の対称分を表す。また、Re[z]は複素数zの実部、z*はzの共役複素数を意味する。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/06 11:25

直接計算すればよいですが、行列を使うと簡単です(ただ、

ここでは行列の書き方がうまくできませんが)。

　a=exp(j2π/3)
とすると
　1+a+a²=0 → 1+a*+a²*=0 (協約複素数をとる)
　(a*)a=1 , (a²*)(a²)=1
　1+a*+a=1-1=0

また
　A=((1,1,1),(1,a²,a),(1,a,a²))
　A*=((1,1,1),(1,a²*,a*),(1,a*,a²*))
　(A*)^t=((1,1,1),(1,a²*,a*),(1,a*,a²*))=A*
とし
　V=(Va,Vb,Vc) , I=(Ia,Ib,Ic)
　V₃=(V₀,V₁,V₂) , I₃=(I₀,I₁,I₂)
とおくと
　V^t=(AV₃)^t → (V*)^t=(V₃*)^t (A*)^t=(V₃*)^t A*

なお、Vなどの行ベクトル(行行列)は V^tとすると列ベクトル
(列行列)になる。

だから
　<P>=Va*Ia+Vb*Ib+Vc*Ic=(V*)^t I=(A*V₃*)^t AI₃
　　={(V₃*)^t(A*)^t}AI₃
　　=(V₃*)^t((A* A)I₃

したがって、(A*)A　を計算すればよい。
要素(1,1)は　1+1+1=3
要素(1,2)は　1+a²+a=0
要素(1,3)は　1+a+a²=0

要素(2,1)は　1+a²*+a*=0
要素(2,2)は　1+(a²*)a²+(a*)a=1+1+1=3
要素(2,3)は　1+(a²*)a+(a*)a²=1+a*+a=0

要素(3,1)は　1+a*+a²*=0
要素(3,2)は　1+(a*)a²+(a²*)a=1+a+a*=0
要素(3,3)は　1+(a*)a+(a²*)a²=1+1+1=3

となるから
　<P>=3(V₃*)^t I₃=3(V₀*I₀+V₁*I₁+V₂*I₂)
　P=Re<P>=3Re(V₀*I₀+V₁*I₁+V₂*I₂)

この回答へのお礼

詳しく回答していただきありがとうございます。
とても分かりやすかったです。質問なのですが
(a²*)a+(a*)a²= a*+a
は計算の過程をどのように考えれば良いでしょうか？

お礼日時：2022/07/06 22:34

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/06 22:57

xyz=(xy)z=x(yz)　

　(zy)*=z*y*
z*z=zz*=|z|²　において z=a なら |a|=1 だから
　a*a=aa*=1
となり
　(a²*)a+(a*)a²=(aa)*a+a*aa=(a*a*)a+(a*a)a=a*+a

この回答へのお礼

とても分かりやすい回答ありがとうございました！無事に理解することが出来ました！

お礼日時：2022/07/06 22:59