θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き

θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して
以外の「」の解答を頂きました。

「ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです」

に関して質問が3つあるのですが、

①
ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけであるため、すなわちθ→π/2として発散してしまいローラン展開から近似値が求まらないため、以下の【 】の計算の様に
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)について計算することで
θ=π/2 のまわりでのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似値を求めるのでしょうか？


②
仮にそうだとしたら、
f(θ)=sinθ/cosθのθ→π/2の時の近似値に関しては
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)の式に関するローラン展開の近似値はθ→π/2の時、
以下の【】の計算より
=a(-1)となりa(-1)=-1であるため、
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は発散(∞)になるため、
近似値は求まらないため、
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=-1の-1を
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似値としただけなのでしょうか？


③
①、②の質問が間違っていた場合、
何のためにlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)の式を導いたのでしょうか？

【f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…

↓両辺に(θ-π/2)をかけると

(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(1)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^4+a(5)(θ-π/2)^6+…

↓θ→π/2とすると

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)】

質問者からの補足コメント

• ありものがたり様、どうか画像の補足に関して答えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/11/14 01:04

• mjcp様、申し訳ないのですが、
  2022,11.12,04:02に頂いた解答に対して書いたお礼を編集したお礼の画像について答えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/11/14 01:37

• ありものがたりさん。
  質問者さんからのお礼に書いた内容の理解で正しいかの確認をして頂けないでしょうか。
  
  どうかよろしくお願いします。

    補足日時：2022/11/17 09:11

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/11 14:47

＞ θ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似式を作り、

＞ θ=π/2(θ→π/2)の時、sinθ/cosθの近似式から近似値を求めたいのです。

lim_{θ→π/2} sin(θ)/cos(θ) が発散することは解ってるのでしょう？
だから、どんな計算方法をとったとしても
θ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似値を考えることに意味がありません。

ローラン展開がもとの関数を近似するのは、収束円環の中だけですよ？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> ローラン展開がもとの関数を近似するのは、収束円環の中だけですよ？

それは知りませんでした。
だとしたら、θ=π/2(θ→π/2)の時、sinθ/cosθは収束円環の外なわけでしょうか？

収束円環の中とは具体的にどのようなものなのでしょうか？
わたしにも理解できる様にもう少し噛み砕いて教えて頂けるとありがたいです。


ちなみに、θ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似値を考えることに意味がない事はわかりましたが、以前回答してくださったmjcp様はなぜlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)を導いたのでしょうか？

というのもθ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似値を考えることに意味がないという話からどうやってlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)の話に繋がったのかわからないためです。

お礼日時：2022/11/11 14:54

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/11 13:21

①② 間違いです。

lim_{θ→π/2} (θ-π/2)sin(θ)/cos(θ) が、
θ=π/2 のまわりでの sinθ/cosθ の近似値であるはずがありません。
だいたい、f(θ) のローラン展開の近似値 って何ですか？
それって f(θ) の近似値のことですよね。
sinθ/cosθ と書いても、ローラン展開で書いても、f(θ) は同じ関数なんですから。

③
lim_{θ→π/2} f(θ) は発散するけれど
lim_{θ→π/2} (θ-π/2)f(θ) は収束する場合、
θ = π/2 は f(θ) の一意の極であって
θ=π/2 のまわりでの f(θ) のローラン展開は
f(θ) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (θ-π/2)^n と表せます。　←[＊]
n が -1 から始まってることに注意しましょう。
lim_{θ→π/2} (θ-π/2)f(θ) = a(-1) となるので、
要するに[＊]式の a(-1) を求めていることになります。
くどいようですが、a(-1) は
「θ=π/2 のまわりでの f(θ) のローラン展開の近似値」
ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> くどいようですが、a(-1) は
「θ=π/2 のまわりでの f(θ) のローラン展開の近似値」
ではありません。

ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散してしまいθ→π/2の時の近似値が求まらないためθ→π/2の時にlim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)は収束するためa(-1)が近似値なのではないかと勘違いしていました。


「なにをしたいのか」に関しましては、
θ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似式を作り、θ=π/2(θ→π/2)の時、sinθ/cosθの近似式から近似値を求めたいのです。

というのも、ローラン展開は式(sinθ/cosθ)の分母が0になるような特異点での近似値を求められると習ったためです。

そして、もう一つは

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
はa(-1)を求めるために作られたとわかりましたが、質問に載せた【】内の過程の計算で
ローラン展開の公式
f(θ) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (θ-π/2)^nとsin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
の等式を使って

a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,

と導かれたため、過程の計算でa(-1)=-1だとわかったのに
既に値のわかっているa(-1)に関してlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
と式を作った意味がわかりません。

どうか教えて頂きたいです。

お礼日時：2022/11/11 14:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/11 10:39

長々と書いてはあるんだが, 「なにをしたいのか」がどこにもないぞ.

この回答へのお礼

「なにをしたいのか」に関しましては、
θ=π/2のまわりでのsinθ/cosθの近似式を作り、θ=π/2(θ→π/2)の時、sinθ/cosθの近似式から近似値を求めたいのです。

というのも、ローラン展開は式(sinθ/cosθ)の分母が0になるような特異点での近似値を求められると習ったためです。

そして、もう一つは

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
は何を求めるために作られた式なのか知りたいです。

お礼日時：2022/11/11 14:03