a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)の式においてn=1の時のa(1)の値はいくつでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  以下の計算は正しいでしょうか？
  もし間違えている場合は正しい計算を教えて下さい。
  どうかよろしくお願い致します。
  
  a(n)
  =res(tan(z),a)
  =1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
  =1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
  =lim[z->a](z-a)tan(z)
  =-1

    補足日時：2024/04/07 17:55

• ありがとうございます。
  度々申し訳ありません。
  
  
  a(n)
  =res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  =1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  
  はいくつになるでしょうか？

    補足日時：2024/04/07 19:39

• 出来ればa(n)
  「=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  =1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  =lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
  の
  「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」がいきつになるかを教えて頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/11 16:28

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/13 10:50

補足日時：2024/04/07 17:55 は間違い

補足日時：2024/04/07 19:39 は間違い
補足日時：2024/04/11 16:28 も間違い

当初の質問
の
a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が
正しい

No.13 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/04/13 07:33

相変わらずだなあ（笑）

　過去の投稿から推測すると、この質問者の本当に知りたいことは、ローラン展開の定義

　　f(z) = ∑[n=-∞→∞]a_n(z-a)^n
　　a_n = (1/2πi)∮_C f(z)/(z-a)^(n+1)dz ……※

にしたがって、※ を使ってa_nを計算するにはどうしたらいいのかということなのだろう。
　それならば a_n を求めることが極めて厄介なtan(z)ではなく、この質問者が過去に何度も投稿していた 1/(z^2-1) などでやればいいと思うのだが、なんでわざわざtan(z)をダシにするのか。No.1 の解答を見てもわかる通り n=1 のときの a(1) を求めるのでさえなかなか大変だ。
　そのa(1)の計算例も過去に何度もある。このままでは、一生をローラン展開と過ごすことになるだろう（笑）。
　ま、フェルマーの最終定理と一生過ごすような人もいるので、それも悪くはないか。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/13 05:22

「

a(n)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)の式においてn=1の時のa(1)の値はいくつでしょうか？
」
に対して
#1の方が

a(1)=1/3

と答えているのにもかかわらず

2024.4.7 17:55の補足で
「
a(n)=-1
」
が正しいか質問している

n=1のときa(n)=1/3 となるのだから

「
a(n)=-1
」
は誤りである

a(n)=-1 となるのは　n=-1 のときだけで
n≠-1のときは　a(n)≠-1 だから

2024.4.7 17:55の補足
「
a(n)=-1
」
は誤りである

a(-1)=-1
でなければならない

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 20:45

2024.4.7 17:55の補足の誤りは

a(n)
は誤りで
a(-1)
が正しい

=res(tan(z),a)
は誤りで
=res(tan(z),π/2)
が正しい

=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
は誤りで
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
が正しい

=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
は誤りで
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
が正しい

=lim[z->a](z-a)tan(z)
は誤りで
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
が正しい

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 20:34

lim_{z→a}g(z)(z-a)^(k-1)が発散し

lim_{z→a}g(z)(z-a)^kが収束するとき
g(z)はz=aでk位の極をもつという
g(z)がz=aでk位の極をもつとき
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1)g(z)(z-a)^k
が成り立つけれども

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の　z=π/2 は
1位ではないn+2位の極だから

k=1ではなく
k=n+2

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 16:45

補足日時：2024/04/07 19:39

tan(z)/(z-π/2)^(n+1) の　z=π/2 は
1位
ではない
n+2位
の極だから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
は間違い

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はz=π/2で　n+2 位　の極をもつから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=
1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/12 15:05

lim[z->π/2](z-π/2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」

は無限大に発散します。

この回答へのお礼

補足2024.4.11 16:28の
lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がいくつになるかに関して解答をありがとうございます。

お礼日時：2024/04/13 20:40

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/12 14:56

No.5　の解答は

あくまでres(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)　に対する解答です。
あなたの
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
云々は
まちがっています。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/11 21:00

補足日時：2024/04/07 17:55 は間違い

a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1

補足日時：2024/04/07 19:39 は間違い

a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

補足日時：2024/04/11 16:28 も間違い

lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
にはならない

1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
に
なる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては正しくは2024.4.7 17:55の補足に
「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と書きましたが、

「a(n)
=res(tan(z),a)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
と
「a(-1)
=res(tan(z),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
=-1」
に関しては何が間違いなのでしょうか？
どうか何を間違えているのか教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/12 19:10

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/08 14:46

ｆ(ｚ)＝tan(z)/(z-π/2)^(n+1)　のｚ＝π/2での留数ですか？

ｚcotｚのよく知られたマクローリン展開を使うと
ｆ(ｚ)のｚ＝π/２でのローラン展開が
-(z-π/2)cot(z-π/2)のπ/2でのテーラー展開
-1＋Σ[k＝1～∞]{2^(2k)Bk/(2k)!(z-π/2)^(2k)}を
(z-π/2)^(n＋2)で割ったものになる。Bkはべルヌーイ数。
ｆ(ｚ)のπ/2での留数はその回りのローラン展開の(z-π/2)^-1
の項の係数だから、上の展開から求める留数は
ｎが偶数のとき　0　になり
nが奇数のとき　2^(2ｍ)Bm/(2ｍ)!　ただしｍ＝(n＋1)/2
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらの解答は
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
の
「=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
は見当たりませんが、
「a(n)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-a)^1 tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim[z->π/2](z-a) tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
」に関する解答なのでしょうか？

どうかお願い致します。

お礼日時：2024/04/11 16:24