以下の問題の解き方が分からないので式と使用した数字の求め方を教えてください 全国の中小企業の取締役か

以下の問題の解き方が分からないので式と使用した数字の求め方を教えてください

全国の中小企業の取締役から無作為に10人の月間所得をとるこの月間所得は平均80(万円)、標準偏差10(万円)の正規分布に従うことが過去の経験からわかっているとする、標本
平均(10人の月間所得の平均)が82万円以上になる確率を求めよ

答えは0.2643です

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/14 09:19

＞問題文のヘンテコで非現実的な設定（#3さんご指摘）

所得は、普通は対数正規分布に乗るよ、ってことだったかしらん。
でも、平均の分布は正規分布に乗るので、目をつぶったんでしょう。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/14 08:36

＞問題文のヘンテコで非現実的な設定（#3さんご指摘）

私も惑わされましたよ。

『全国の中小企業の取締役から無作為に10人の月間所得をとる。この月間所得は・・・』

読点が入るんですよね。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 20:24

回答がごちゃごちゃになって、また、最初、早とちりして間違えて、すみませんでした。

ところで、基準化して、数表から求める方法もあります。そっちかもしれませんね。

でも、大学の先生によっては、確率は積分（面積）だ、って教えて、期待値とか分散とかも積分で定義されていることを教えているので、積分かなって思いました。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 20:15

#4です。

回答の中の以下の部分は無視して下さい。コピペ時のミスです。

> # 偏差値80の下側確率は
>

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 20:12

私、間違っていました。

平均の分布は、σ／√n に従います。
#1，2は間違いで、σ＝10／√10 になります。すみません。

式は、

１－∫(ー∞→82)｛1／√(2×π×σ^2)×exp(－(x－μ)^2／(2×σ^2))｝dx

μ＝80
σ＝10／√10

Rで計算すると、

> f <- function(x){(2 * pi * s^2)^(-1/2) * exp(-(x - m)^2 / (2 * s^2))}
> m <- 80
> s <- 10 / sqrt(10)
>
> # 偏差値80の下側確率は
>
> p <- integrate(function(t){f(t)}, -100, 82)
> p
0.7364554 with absolute error < 2.3e-06
>
> # 上側確率は
>
> 1 - p$value
[1] 0.2635446

微妙に違うなあ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/13 19:50

一般に、確率変数X[1]〜X[n]が互いに独立で、X[k]が平均 μ[k], 標準偏差σ[k]である正規分布に従うときに、

　　Y = a[1] X[1] + a[2] X[2] + … + a[n] X[n]
とすると、Yは
　　平均　 a[1]μ[1] + a[2]μ[2] + … + a[n]μ[n]
　　分散　(a[1]σ[1])^2 + (a[2]σ[2])^2 + … + (a[n]σ[n] )^2
の正規分布に従う。

　で、（問題文のヘンテコで非現実的な設定は見なかったことにして）
確率変数X[1]～X[10]は違いに独立で、それぞれ、平均μ=80, 標準偏差σ=10の正規分布に従う。そして確率変数X[1]〜X[10]の平均値Yを計算したんだから、
　　Y = (X[1] + X[2] + … + X[10])/10
　　　= (1/10)X[1] + (1/10)X[2] + … + (1/10)X[10]
ですね。あとは簡単。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 19:49

式を間違えました。

正しくは、

１－∫(－∞→82)｛1／√(2×π×10^2)×exp(－(x－80)^2／(2×10^2))｝dx

積分で求めた下側確率を、１から引かなきゃいけませんでした。
ちなみに、実際に求めた数値は合っています。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 19:46

0.2643にはならないです。

数表とか使わずに、本当に式で計算するんですか？
であれば、計算式は以下の積分です。

∫(－∞→82)｛1／√(2×π×10^2)×exp(－(x－80)^2／(2×10^2))｝dx

で、実際にRで計算すると、

> f <- function(x){(2 * pi * s^2)^(-1/2) * exp(-(x - m)^2 / (2 * s^2))}
> m <- 80
> s <- 10
>
>
> p <- integrate(function(t){f(t)}, -100, 82)
> p
0.5792597 with absolute error < 1.1e-10
>
> # 上側確率は
>
> 1 - p$value
[1] 0.4207403

0.4207 です。