アキレスと亀のパラドックスはいまだに理解されていないのか ?

アキレスと亀のパラドックスの問題があったが、機械的ストーカ以外
ほとんど参戦が無い。いつもはわんさか集まるのに。

鏡は左右が反転する(2022/12/31、天声人語、50数年前に自明だっ
たのに情けない)、地動説が正しいなどと同様に頓珍漢な議論が続い
ているようだ。

この問題は P → Q とすると、Pは正しく、P → Q が間違っているが、
アキレスが追いつくことや追い抜くことは自明であり、問題はゼノン
の P → Q の論法の誤りを指摘することにある。

くどいが、ラッセルのように(当然又聞きだが)、自明な結論である有
限時間で追いつくと示すことではない。

このことは、50数年前に悩み抜いて調べた結果ある書籍に解答を見つ
けたのだが、未だに理解されていないのだろうか?

質問者からの補足コメント

• 失礼しました。訂正はありません。

    補足日時：2023/02/10 08:29

• 

  私がみつけた解答は、ゼノンの論理には不明確な点がある。
  それをはっきりさせると、
  「亀がアキレスの前にいる限り、追いつき、追い抜けない」
  と言っているので正しい言明になる。
  
  というものでしたが、「いつまでも」とか「永遠に」という
  と、ラッセルの論理でもよいような気がしてきました。
  
  がっくりしましたので、勝手ではありますが終了したいと思
  います。申し訳ありませんでした。
  
  なお、BAはサイコロで決めました。

    補足日時：2023/02/10 20:50

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/10 11:21

ゼノンは（かめさんの話を含む一連の問いかけで）「現実の世界で空間や時間は稠密か。

無限に分割できるか」という問いを提唱をしたんです。前成説を当然と思うのなら分割できないはずがない。ゼノンはそれに疑問を呈した、そこんとこがポイントであり、議論のやり方や矛盾の導き方が失敗しているからというだけの理由で問いまで斬って捨てるのはいささかポイントを外した話でしょう。ゼノンが問う現実世界の話を数学の土俵に移すのは「数学的モデルを構成してアナロジーで議論する」ということですが、そもそも連続性を持つ実数でモデルを構成したんじゃトートロジーになるのは当たり前です。
　ずっとくだって、デカルトが現実の世界の物理を実数で表現するというアイデアを出した時点で連続性も付随して持ち込まれたわけですが、世界の連続性が自然哲学の原理として積極的に提唱されたのはプラグマティズムにおいてで、前成説がほぼ否定された一方で物理学はそろろろ完成したんじゃないかと考えられていた19世紀のことです。たとえば流体力学が分子の集団の運動を連続な微分方程式で近似して扱うのもその流れで、原子と分子の実在が確定的になったのは20世紀になってからですから、それまでは「近似」とは思ってなかった。
　さて、プランクサイズの空間や時間になると（連続性どころか）稠密性が怪しくなってきます。（超弦理論のライバルである）ループ重力理論では量子的な空間・時間を想定し、つまり空間や時間が連続に「見える」のは派生物であってマクロスケールでの近似だ、というわけで、「現実の世界で空間や時間を無限に分割できるか」という秀逸な問いはまだ解決されてはいないでしょう。

この回答へのお礼

>ゼノンは・・・・という問いを提唱をしたんです。<
●ほんとですか? あの簡単な文章の中にそんな奥深い意図が
あったなんて。

なお、私の頭では、以下は全く理解不能。申し訳ない。

そんな難しい問題ではないのだが、よく考えると、ラッセル
の収束手順でも問題ないと思いなおしました。

お礼日時：2023/02/10 17:07

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 17:59

「ラッセルの収束手順」？ はて、

ゼノンのパラドクスに対するラッセルの解釈は
収束性とは特に関係無いように思うが...
なんだろう？

よく言われる等比級数の収束との関連は、
アキレスと亀に対するゼノンの観測が
トランプの黒い山からだけカードを引いていること
を数値的に示している。

ラッセルの解釈は、
有限幅の実区間が無限個の点を含むことを問題にしているのか、
有限長の時間が無限個の時刻を含むことを問題にしているのか、
あるいはその2つが別の問題であることに気づいているのかどうか
どうにも判然としない。

この回答へのお礼

ラッセルの説明はゼノンの手順を時間計算すると合計時間収束し、
手順は無限回であるが有限時間に追いつき、「いつまでも追いつけ
ない」は誤り、というものです(また聞きですが)。

お礼日時：2023/02/10 20:37

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 13:14

一組のトランプを、黒のカードと赤のカードに分けて

それぞれ山にして伏せておきます。
区別がつくように、山は十分離して置きましょう。
一方の山に狙いをつけて、繰り返しカードをひいたら
何が起こるでしょう？

一回目にめくったカードが例えばスペードだったとしたら、
同じ山からカードをめくり続ければ、
何度めくっても現れるのは黒のカードです。
これはパラドクスでしょうか？

トランプには赤のカードも含まれるのに、
何度めくっても黒のカードしか現れない...
これはパラドクスだ！ というのが、
アキレスと亀のパラドクスです。

アキレスとか亀とか駆けっことかの物語は、
話を印象的にするための飾りにすぎません。
等比級数も、実は話の本筋ではありません。

ゼノンの方法では、一回前に調べたとき亀がいた位置まで
アキレスが進んだ時点で、またアキレスと亀の前後関係を
調べます。その間に亀もいくらか進んでいるのだから、
アキレスが亀より後ろにいることは予め判っています。
これは、黒と判っている山からカードをひき続けるのと同じです。
赤のカードの山やアキレスが亀より前にいる時刻については、
見ないように決めてあるから見えないというだけです。
それは、赤のカードが存在することと何も矛盾しません。

カードは26回ひいたら終わりだが、アキレスと亀は何回でも調べられる
という指摘は当たりません。ひいたカードを、次をひく前に
同じ山に戻せばいいだけです。カードを山に戻したとき
山をシャッフルしておくと、気分的には良いかもしれません。

この回答へのお礼

私の頭では、以下は全く理解不能。申し訳ない。

そんな難しい問題ではないのだが、よく考えると、ラッセル
の収束手順でも問題ないと思いなおしました。

お礼日時：2023/02/10 17:08