アキレスと亀について。

アキレスというタイヤと亀というタイヤがあるとします。

以降、単にアキレスと亀と言います。

アキレスと亀は、地面を転がって競争します。


角速度は一定で、どちらもωです。
(スタート時も既に走っています)

アキレスの半径は2rで、亀の半径はｒです。

亀は、アキレスよりもＬの距離だけ前方からスタートします。


さらに、もうひとつハンデがあります。

アキレスの体の寸法は、走りながら小さくなっていきます。だから、アキレスの半径が2ｒというのはスタート時だけです。具体的に、どうなるかというと、一定の時間を過ぎると、もとの長さの半分になります。ただし、急に小さくなるのではなく、連続して小さくなります。このようなアキレスの「半減期」はTとします。

質問。
アキレスが亀を追い越せないためには、Tはどのぐらいでなければいけませんか。

質問者からの補足コメント

• 追記。
  
  アキレスが永久に走るとしたら、到達距離は、収束しますか。発散しますか。収束するとしたら、その距離を教えてください。

    補足日時：2023/05/31 10:32

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/31 14:16

アキレス、亀の速度をVa,Vk、移動距離を La,Lk とする。

　Va=2rw2^(-t/T), Vk=rw
すると、追いつくには
　Va>Vk → 2・2^(-t/T)>1 → t<T
つまり、T未満の時間でないと追いつけない。

また
　La=∫[0,t] 2rw2^(t/T)dt=(2rwT/log2){1-2^(-t/T)}・・・①
　Lk=rwt+L
したがって、t=Tのとき
　La≦Lk
だと追い越せない。すると
　(2rwT/log2){1-2^(-T/T)}≦rwT+L
→ (rwT/log2)≦rwT+L → rwT(1/log2-1)≦L
→ T≦L/{rw(1/log2-1)}

また、到達距離は①から
　La → 2rwT/log2
に収束。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/01 10:58

←補足(05/31 10:32)

回答の付いた質問の話題を変えるのは、いただけない。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/31 19:58

(亀の位置) = L + ｒωt,

(アキレスの位置) = ρωt,
ρ = (2r)(1/2)^(t/T)
ですね。時刻 t=0 にアキレスがいる場所を位置 0 としています。

v = rω,
k = (log 2)/T,
f(t) = (亀の位置) - (アキレスの位置)
と置くと、
f(t) = L + vt - 2vt e^(-kt),
f’(t) = 0 + v - 2v e^(-kt) - 2vt e^(-kt)・(-k)
　　= v{ 1 + 2e^(-kt)・(-1 + kt) },
f”(t) = v{ 0 + 2e^(-kt)・(-k)・(-1 + kt) + 2e^(-kt)・k }
　　= 2ve^(-kt)・{ (-k)(-1 + kt) + k }
　　= 2vke^(-kt)・(2 - kt).
となります。
得たいのは、t ≧ 0 で f(t) > 0 となるような r,ω,T,L の条件です。

f’の増減表を書くと
t　　0　　　　2/k
f”　　　+　　0　　　-
f’　　増加　極大　減少

f’(0) = -v < 0,
f’(2/k) = v(1 + 2/e^2) > 0,
f’(∞) = v > 0
なので、0 < c < 2/k の範囲に　←[0]
f’(c) = 0 となる c があって、

f　の増減表は
t　　0　　　　c
f’　　　-　　0　　　+
f　　　減少　極小　増大

f の最小値は f(c) です。

0 = f’(c) = v{ 1 + 2e^(-kc)・(-1 + kc) } の下で　←[1]
0 < f(c) = L + vc - 2vc e^(-kc) となる　←[2]
条件を求めればよいことになります。

[1][2] から e^(-kc) を消去すると c の二次不等式になるので、
陽に解くことができて、[0] も加味すると
1/k - L/(2v) + √{ 1/k^2 + (L/(2v))^2 } < c < 2/k.
この範囲の c でｆ'(c) は増加だから、
f'(1/k - L/(2v) + √{ 1/k^2 + (L/(2v))^2 }) < 0 が答えです。←[3]

[3] から v,k を消去して r,ω,T の関係式にすれば完了ですが、
相当複雑な式になって、式が得られたから何なの？という感じはします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/31 18:00

>TをL、r、ωから解析的に導くのはたぶん無理。

これは間違いでした。簡単に求まりますね。申し訳ない。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/31 11:21

t=Tの時点で追いついてないともう追い付けませんから

L+rωT>∫[0→T]2rω2^(-t/T)dt
なら追い付けない。
シンプルな積分の問題。
ただし、T、r、ωからLを求めるのは簡単だが
TをL、r、ωから解析的に導くのはたぶん無理。