整数問題６ 三角形とtan

三角形 ABC において、tanA, tanB, tanC の値がすべて整数であるとき
それらの値を求めよ.

補足
tan と言えば傾きですが、なかなか上手にいきません
今、試行錯誤の上、別のアプローチで考えています

識者の方々の考え方も教えてください

何卒宜しくお願い致します

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  いつもお世話になっております。
  
  貴殿のような考え方が主流なのでしょうが
  
  私は、論理に弱いので図で勝負です
  
  貴殿の
  
  ご評価、ご指導をお待ちしております。
  
  
  from minamino

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/08 14:43

• 

  おはようございます
  
  今回もご指摘ありがとうございます。
  
  一瞬、凹みましたが、気を取り直して、Vectorで
  
  再度、考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/09 06:43

• おはようございます
  
  図を再度作成しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/09 06:45

• 

  tanA=1ですでにA=45
  tanB=2 で62
  
  これらを始めに考えれば
  
  私の座標設定は自然です

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 09:25

• 

  tanA=1=45°、tanB=2=63.4, tanC=3=71,5
  
  これをはじめに考えて考察をはじめています、
  
  
  三角形の内角の和を考えれば
  
  tanD=4 を考えるのは不適
  
  tanA=1, tanB=2,tanC=3　のみで議論する
  
  後は、この条件下で三角形をなすのか証明すれば良い
  
  十分に証明したつもりですが
  
  
  from minamino

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 13:46

• 

  題意の最も小さくなる値は
  
  tanA=1=45°
  
  この時点で三角形ABCは鈍角三角形ではない
  
  鋭角三角形なら
  
  tanA=1, tanB=2,tanC=3
  
  しかないでしょって

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 14:51

• 

  新たな角D を考えても
  tanD=4の解は
  x≒76°
  
  このとき、三角形をなさない

    補足日時：2023/04/10 15:31

• 

  おはようございます
  
  早速ですが
  
  >写真の答案の中味はほぼ必要ない
  
  それは、あり得ないです
  
  まず、私の答案の図でvectorを使い三角形をなすか示す必要がある
  
  また、その後、tanC=3 である事を必ず示す必要性があります
  
  何故なら、設定した図から、tanC=3　は述べられていない
  
  以上
  
  from minamino

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 10:44

• 

  これ以上は議論の無駄出す
  
  これで貴殿とのやりとりはご勘弁してください

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 14:05

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/08 11:05

A+B+C=π

C=π-(A+B)

tanC
=tan{π-(A+B)}
=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanA=1,tanB=2 のとき　tanC=(1+2)/(2-1)=3
tanA=1,tanB=3 のとき　tanC=(1+3)/(3-1)=2
tanA=2,tanB=3 のとき　tanC=(2+3)/(6-1)=1

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 19:49

A,B,C は三角形の内角だから A+B+C = π.　←[0]

tan の加法定理より、
0 = tan π = tan(A+B+C)
　= { tanA + tan(B+C) }/{ 1 - tanAtan(B+C) }
　= { tanA + (tanB + tanC)/(1 - tanBtanC) }/{ 1 - tanA(tanB + tanC)/(1 - tanBtanC) }
　= { tanA(1 - tanBtanC) + (tanB + tanC) }/{ (1 - tanBtanC) - tanA(tanB + tanC) }
　= { tanA + tanB + tanC - tanAtanBtanC }/{ 1 - tanAtanB - tanBtanC - tanCtanA }.
⇔ tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC.　←[1]

絶対値を考えると、
|tanAtanBtanC| = |tanA + tanB + tanC| ≦ |tanA| + |tanB| + |tanC|.
対称性より |tanA| ≦ |tanB| ≦ |tanC| で考えても一般性を失わない。
よって、|tanAtanAtanC| ≦ |tanAtanBtanC| ≦ |tanA| + |tanB| + |tanC| ≦ 3|tanC|.　←[2]

A,B,C > 0 と [0] とより、 A,B,C < π.
この範囲で、tanA, tanB, tanC が =0 になることはない。　←[3]
よって、[2] の両辺を |tanC| で割ることができて、 |tanA|^2 ≦ 3.
これを満たす整数 tanA は、 [3] も考慮すると tanA = ±1 に限られる。

tanA = 1 のとき、 [1] は 1 + tanB + tanC = tanBtanC.
変形して、 (tanB - 1)(tanC - 1) = 2.
右辺の素因数分解を考えれば、これを満たす整数は
(tanB - 1, tanC - 1) = (2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2).
すなわち (tanB,tanC) = (3,2), (2,3), (-1,0), (0,-1).
[3] より (tanB,tanC) = (3,2), (2,3).

tanA = -1 のとき、 [1] は -1 + tanB + tanC = -tanBtanC.
変形して、 (tanB + 1)(tanC + 1) = 2.
右辺の素因数分解を考えれば、これを満たす整数は
(tanB + 1, tanC + 1) = (2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2).
すなわち (tanB,tanC) = (1,0), (0,1), (-3,-2), (-2,-3).
[3] より (tanB,tanC) = (-3,-2), (-2,-3).
ただし、 A,B,C > 0 と [0] とより
A,B,C のうち >π/2 となるものは高々 1 個であり、
tanA,tanB,tanC のうち <0 となるものは高々 1 個。
よって、tanA = -1 の解は全て不適である。

以上より、対称性を考慮して
{ tanA,tanB,tanC } = { 1,2,3 }.

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/08 22:27

その補足で

∠A=45°
というのは
∠A=∠CAB=45°
ということだから
ABとACのなす角度が45°
ということだから
ベクトル
↑AB=↑a=(1,1)
の向きではないので間違いです
tanA=1,tanB=2,tanC=3にはならないので間違いです

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/09 00:36

←No.1

tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)
の後、何をどうしたのかが書いてないね。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/09 00:44

←補足

図で勝負するなら、図はちゃんと書こう。
その答案では、何を考えて何を計算したのかがサッパリ見えてこない。

ひとつめの図とふたつめの図では、角A,B,Cがそれぞれ全く別のもの
であるように見えるのだが？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 10:38

△ABCの内角

∠A>0
∠B>0
∠C>0
の内の2つ以上は90°=π/2未満だから
それを∠A,∠Bとすると
0<∠A<90°=π/2
0<∠B<90°=π/2
tanA>0
tanB>0
tanA,tanBは整数だから
tanA≧1
tanB≧1

A+B+C=π=180°
C=π-(A+B)

tanC
=tan{π-(A+B)}
=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanAtanB≧1
tanAtanB-1≧0
tanAtanB-1≠0
tanAtanB-1≧1>0
tanA+tanB≧2>0
だから
tanC≧1
だから
0<∠C<90°=π/2

(tanAtanB-1)tanC=(tanA+tanB)
tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

min(A,B,C)とAの変数名を入れ替え
max(A,B,C)とCの変数名を入れ替えると

0<A≦B≦C<π/2=90°
1≦tanA≦tanB≦tanC

tanAtanB≧2
だからtanA≧2.or.tanB≧2

2≦tanAと仮定すると
2≦tanA≦tanB≦tanC
tanA+tanB≧4
4≦tanAtanB
2<3≦tanAtanB-1
2<tanAtanB-1
2/(tanAtanB-1)<1
1+2/(tanAtanB-1)<2
tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)≦1+2/(tanAtanB-1)<2
tanC=1となって
2≦tanCに矛盾するから
∴
tanA=1

2≦tanB≦tanC
tanBtanC=1+tanB+tanC
(tanB-1)(tanC-1)=2
1≦tanB-1≦tanC-1≦2
だから
tanB-1=1
だから
∴
tanB=2

tanC-1=2
だから
∴
tanC=3
∴
tanA=1,tanB=2 のとき tanC=3
tanA=1,tanB=3 のとき tanC=2
tanA=2,tanB=1 のとき tanC=3
tanA=2,tanB=3 のとき tanC=1
tanA=3,tanB=1 のとき tanC=2
tanA=3,tanB=2 のとき tanC=1

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/09 10:51

←04/09 06:45の補足

冒頭の「このように座標設定する」の時点で
既に△ABCの具体的な形が決まっているように見えるが、
どうしてそのように決めてよいのか？
何も解いてないように思えるのだが。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/10 13:24

←04/10 09:25の補足

tanA=1 は、最終的に導くべき答えの一部。
それを考え始める冒頭に、最初から
そのような図が得られていることは不自然
...というか、その図でよいことを示すまでの過程
が、書くべき答案なんだが。

tanA=1, tanB=2 と仮定したら
tanA=1, tanB=2 と判りました...では
何の考察にもなっていない。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/10 13:53

←04/10 09:25の補足

D って何や？
問題文に無い名前を持ち込むときは、
その定義を明記しなくては話にならない。

No.8 にも書いたが、
tanA=1, tanB=2, tanC=3 を仮定して
tanA=1, tanB=2, tanC=3 と結論しても、
それはそう仮定したというだけの話で、
何も求めていないことになる。

tanA, tanB, tanC の値に
それ以外の整数を考えなくてよい理由は何か？
そこを説明するのが、この問題の答案だよ。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/10 18:26

←04/10 14:51の補足

その線で答案を作るなら、その事を書かなきゃ。
この補足をもう少し詳しく書くべきで、
写真の答案の中味はほぼ必要ない。
答案は、答えの値に至る過程を書くものだから。

少し考慮すべき点は、
＞ 題意の最も小さくなる値は
＞ tanA=1=45°
の「最も小さくなる」という記述が、
tanA 最小を指しているのか
A 最小を指しているのかハッキリさせること。
どちらの場合も、それに応じて
もう少し説明の追加が必要。