arccos（sin1）がπ/2-1になるらしいのですがどうやったらなるんですか？

arccos（sin1）がπ/2-1になるらしいのですがどうやったらなるんですか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/06 13:07

θ = arccos(sin 1)

⇔　cos θ = sin 1 かつ 0 ≦ θ ≦ π.

あとは、1 ラジアンが何度か？かな。
1 [rad] = 1・180/π [°] ≒ 180/3.14 [°] ≒ 57.3 [°].

鋭角だから、1 [rad] の内角を持つ直角三角形の絵を描けば
cos(π/2 - 1) = sin 1 であることが判る。
「余弦」は、「余角の正弦」って意味の言葉だよね・

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/06 12:34

No.3 です。

ちょっと誤植があった（θ を x と書いてしまったところがあった）ので、後半を訂正して掲載します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

つまり、求めるものを
　θ = arccos(sin(1))　　　　①
とすると、これは
　0 ≦ θ ≦ π
として
　cos(θ) = sin(1)　　　　②
ということです。

方程式を解くために「cos(θ)」を「sin」に変換すれば、加法定理
　sin(π/2 - θ) = sin(π/2)cos(θ) - cos(π/2)sin(θ)
　　　　　　　= cos(θ)　　　　　　　　　　　　←ここを訂正
なので、②は
　sin(π/2 - θ) = sin(1)　　　③

0 ≦ θ ≦ π より
　-π/2 ≦ π/2 - θ ≦ π/2
なので、この範囲で③が成り立つのは
　π/2 - θ = 1
よって
　θ = π/2 - 1

従って、①より
　arccos(sin(1)) = π/2 - 1

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/06 12:14

arccos(x) = θ

って、要するに
　cosθ = x
を「θ について」書き表わしただけだということを理解していますか？

もちろん「１対１に対応する」ことを保証する意味で、
　0 ≦ θ ≦ π
のような条件を付けないといけませんが。

つまり、求めるものを
　θ = arccos(sin(1))　　　　①
とすると、これは
　0 ≦ θ ≦ π
として
　cos(θ) = sin(1)　　　　②
ということです。

方程式を解くために「cos(θ)」を「sin」に変換すれば、加法定理
　sin(π/2 - θ) = sin(π/2)cos(θ) - cos(π/2)sin(θ)
　　　　　　　= cos(x)
なので、②は
　sin(π/2 - θ) = sin(1)　　　③

0 ≦ θ ≦ π より
　-π/2 ≦ π/2 - θ ≦ π/2
なので、この範囲で③が成り立つのは
　π/2 - θ = 1
よって
　θ = π/2 - 1

従って、①より
　arccos(sin(1)) = π/2 - 1

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/06 01:25

訂正

　cosy-cos(π/2-1)=0
和積の公式から
　-2sin{(y+(π/2-1))/2}sin{(y-(π/2-1))/2}=0
→ (y+(π/2-1))/2=nπ または (y-(π/2-1))/2=0
→ y=nπ-(π/2-1) または y=nπ+(π/2-1)

主値となるのは
前者は n=1のみで、y=π/2+1
後者は n=0のみで、y=π/2-1

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/06 01:08

y=arccos（sin1） → cosy=sin1=cos(π/2-1)

→ y=π/2-1+2πn (n=0,±1, ±2,…)
arccosの主値(0～π)に限れば
　y=π/2-1