(訂正) 収束と発散ってなんですか？ (ⅰ)(ⅱ)の違いもよくわかりません。 横に解説書かれています

(訂正)
収束と発散ってなんですか？
(ⅰ)(ⅱ)の違いもよくわかりません。
横に解説書かれていますが、もっと本質的な意味を知りたいです

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/06 09:55

ああ、意味不明の質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13519437.html
の出処はこれか...
その解説は、あまりにも酷い。
読んだ人を混乱させようとしているとしか思えない。
そんな本は直ちに捨てて、もうすこしマシな参考書を使おう。

前回に回答したとおり、x→a のとき f(x) が収束するとは、
x の値を a に近づけるとき、その近づけ方によらず
f(x) の値がある一定の値に近づくこと。
その「一定の値」が b であれば lim[x→a] f(x) = b と書く。
f(x) がひとつの値には近づかないとき、lim[x→a] f(x) は発散すると言う。
数学的には、上記の「近づく」を厳密に定義しなければらないが、
「本質的な意味」程度の軽い話なら、この説明でいいだろう。

写真の支離滅裂な文章は、推測すると、
f(x) = g(x)/h(x) と割り算の形をしていて
x→a のとき g(x) も h(x) もどちらも 0 に近づく場合に、
(i) g(x) のほうが h(x) よりもずっと小さければ f(x) は 0 に近い
(ii) h(x) のほうが g(x) よりもずっと小さければ f(x) はやたらと大きい
(ii) g(x) と h(x) が同程度の小ささなら f(x) は 0 でないある値へ近づく
ってことが言いたかったのだと思う。
g(x) や h(x) の具体的な例を挙げず、数値を示してしまったのは
愚策としか言いようがないが。

これも推測だが、そそらく、「収束」と「発散」の定義や説明は
その本のもっと前のほうにすでに書かれていて、
そのページでは、分数式の分子と分母を別々に見たときに
lim[x→a] g(x) = lim[x→a] h(x) = 0 の条件下に
lim[x→a] f(x) = lim[x→a] g(x)/h(x) がどうなるか？
の話だけをしたかったのだと思う。

その写真の文章ではなく、別の参考書(か教科書)で
「収束」と「発散」の定義を確認することを勧める。
「極限」に関する章の一番最初に書いてあるはずだ。
その本の前のページを探すのではなく、必ず別の本でね。