写真の問題の赤線部についてですが、なぜ等号を外すことができるのでしょうか?
確かに等号が成り立つのはx=0のときだけですが、赤線部の積分範囲に0が含まれていることから、等号が外せることに違和感があります。解説おねがいします。
写真:https://d.kuku.lu/j565nfatj
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
積分範囲に0が含まれていようが
積分区間は[0,1]です。
3つの関数値がx=0で等しくなっても
0から1の区間で作る図形は
大きさが明らかに違うはずです。
だから等号が成り立つことはありません。
No.2
- 回答日時:
f(x),g(x)が区間[a,b]で連続かつ
f(x)≦g(x) かつ ∃c∈[a,b], f(c)<g(c)
ならば
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]g(x)dx
となる。
しかし、証明は面倒なので、今回は
∫[0,1] {1/(x²+x+1)-1/(x+1)²}dx
=∫[0,1] x/{(x²+x+1)(x+1)²} dx
≧∫[0,1] x/(3・2²)dx=1/(2・3・2²)>0
→ ∫[0,1] 1/(x²+x+1) dx > ∫[0,1] 1/(x+1)² dx
を得る。
ここで、0≦x≦1 のとき
x/{(x²+x+1)(x+1)²} ≧ x/{(1+1+1)(1+1)²}=x/(3・2²)
を使った。
もう一方の不等式も同様。
No.3
- 回答日時:
移項して
1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) ≦ 0 ≦ 1/(x+1) - 1/(x^2+x+1), 0 ≦ x ≦ 1
としたほうが見やすいかな?
不等式の左半分について:
a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) ≦ 0 が成り立つとき
∫[a,b]f(x)dx ≦ 0 が成り立ちますが、
∫[a,b]f(x)dx = 0 となるのは、a ≦ x ≦ b の範囲でずっと f(x) = 0 の場合だけです。
積分区間を分割して ∫f(x)dx > 0 となる小区間が無いので、
∫f(x)dx < 0 となる小区間が少しでもあれば ∫[a,b]f(x)dx < 0 となるからです。
1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) は、0 ≦ x ≦ 1 の範囲でずっと = 0 ではないので、
∫[0,1]{ 1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) }dx < 0.
よって ∫[0,1]{ 1/(x+1)^2 }dx < ∫[0,1]{ 1/(x^2+x+1) }dx です。
不等式の右半分についても、ほぼ同様。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 写真の数学の質問です。 (2)の答えにある不等号についてなのですが、9/4は接点なので交わるために等 1 2023/03/29 00:48
- 数学 写真の問題の(2)の別解についてですが、なぜPH=赤線部のように表せるのですか?確かに図のように、P 5 2023/09/01 12:43
- 数学 図形問題について 3 2021/12/14 08:31
- 数学 写真の問題の(2)の赤線の不等式について質問なのですが、(便宜上、左から各式をa,b,cとおきます。 2 2022/09/19 11:42
- 数学 写真の問題の赤線部についてですが、 z,p,qをそれぞれ、OZ→,OP→,OQ→と定めると、(以下、 1 2023/09/24 17:36
- 数学 【 数I 】 問題 aを定数とする。1≦x≦3において,xの 不等式ax+2a-1≦0・・・・・・① 2 2022/07/15 17:40
- 数学 【 数I 連立不等式 】 問題 aを定数とし、連立不等式 x-6a≧-1・・・① { ∣x+a-1∣ 3 2022/07/11 18:27
- 数学 この写真の問題の(2)について何ですが、(1)の「2解が共に1より大きい」という時は写真のように、 5 2022/07/22 11:46
- その他(パソコン・スマホ・電化製品) 先日久しぶりにauのホームページへアクセスし固定電話料金を確認した。ログインすると久しぶりたため2段 2 2021/12/10 12:32
- 数学 写真の問題の赤線部についてですが、 (1/b)<(1/c)<(1/a)という不等式を示す際に、 なぜ 2 2023/10/05 18:19
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
新NISA制度は今までと何が変わる?非課税枠の拡大や投資対象の変更などを解説!
少額から投資を行う人のための非課税制度であるNISAが、2024年に改正される。おすすめの銘柄や投資額の目安について教えてもらった。
-
写真についてですが、Pがy=f(x)にあることと、Qがy=g(x)上にあることは同値であるということ
数学
-
分数を一瞬で約分できるかどうか分かるようになれる方法はありますか? 約分できるか考える時間がタイムロ
数学
-
二次関数の解の配置問題で納得できないものがあります
数学
-
-
4
数学 なぜ |α-β| = β-α になるのか
数学
-
5
『1>0.999…?』
数学
-
6
数学の問題集で連立方程式の文章題を解いていたのですが、1次方程式で解くことができました。 これは〇で
数学
-
7
中三の数学です。 a>0のとき,a≧√aは常に成り立つとは限らない。成り立たない場合のαの値を1つ答
数学
-
8
数学の文字式について 「全部でa本あった鉛筆を、b人の子供に1人3本ずつ配ろうとしたら、2本足りなか
数学
-
9
写真の②の式がよくわからないです。 確かに、各文字に具体的な数値を代入したら②が成り立つことはわかる
数学
-
10
放物線と直線の共有点を求める問題で腑に落ちないことがあります
数学
-
11
数学の確率の問題です
数学
-
12
aに関する三次方程式が解けずに困っています。
数学
-
13
複素数平面の問題です
数学
-
14
階差数列の問題で、n=1にときに成り立たない問題を見たことありますか?
数学
-
15
大きな数の掛け算
数学
-
16
ピタゴラス数a,b,cのある関係
数学
-
17
x^3-93x-308=0の時、xを求めよ。
数学
-
18
x軸と2点(α,0),(β,0)で交わる放物線を表す2次関数はy=(x -α)(x -β)だと問題集
数学
-
19
乗数の合同式の計算
数学
-
20
『[無限ホテル]』
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
0の積分
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
高校の数学で積分できない関数
-
積分の問題
-
有限までのガウス積分
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
不定積分∫log(1+x)/x dxが分か...
-
exp(ikx)の積分
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
1/x は0から1の範囲で積分でき...
-
二重積分の問題で(1)I=∬(x^2+y^...
-
可積分だが二乗可積分じゃない...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分 ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx
-
定積分=0という場合、積分され...
-
写真の問題で1/1-yの積分と1/1-...
-
シグママイナスプロット
-
sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報