「同時性の破れ」について

「同時性の破れ」について教えて下さい。
添付図は電車が右方向へ走行する状況を表しています。電車中央から電車の前後部に光を同時に発します。ｔ＝２のとき、電車内にいる人には光は前後部同時に到達したように見えます。（左の図）電車の外で見ている人には光は後部に先に着いて、前部には遅れて到達したように見えます。（右の図）ここまでは理解できます。
それでは、光の代わりに野球のボールを使ったらどういう風になるのでしょうか。電車が通常の速度であれば、外の人にもボールは前後の壁に同時に着くように見えると思います。（前後に飛ぶボールの飛距離と速度が比例して動く。）次に、図のように電車が亜光速で走っている状態で、ボールを時速２００㎞で射出した場合は、ボールの動きはどのようになるのでしょうか。「同時性の破れ」は成立するのでしょうか。
ボールに対する電車の慣性の影響とか、ボールの質量の増大とか、時間の遅れの影響とか、相対論的速度の合成則等々いろいろな疑問が湧いてきて整理がつきません。chat gpt にも聞いてみましたが、よくわかりませんでした。どなたか詳しい方のご教示をよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

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  多くの皆様にご投稿を頂き、ありがとうございます。ついでと言っては失礼ですが、関連する質問についてもご指導をお願いしたいと思います。
  ①外から見ている人には光は電車後部に先に着き、遅れて前部に届くということは、外の人にとって、電車後部の時間は前部よりも進んでいるということでしょうか。もしそうだとしたら、外の人との時間差は電車のどの部分の時間との比較なのでしょうか。

    補足日時：2023/10/29 15:32

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  前の補足からの続きです。
  ②野球のボールでも光と同じように「同時の相対性」が成立することは理解できました。
  ところで、Endlessriverさんによりますと、t₁-t₂=(γv/c²)(x₁'-x₂')ですから、電車の速度と長さだけで時間差は決まるということです。ということは、光でもボールでも何でも同じ時間差になるということだと思います。
  直感的には、e12mv2さんが言われたように、「ボールは光と違って質量を持つから質量増大の結果が加わる」ような気がするのですが、なぜこうはならないのでしょうか。（確かに、ローレンツ変換の導入には最初から質量のファクターは入っていませんが。）
  以上の二点ですが、追加でよろしくお願いいたします。

    補足日時：2023/10/29 15:36

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  Endlessriverさんへ、早速のご指導有難うございました。特に②について、私は同じ条件下の電車の中では、どんな物を射出してもみな前後部ごとに決まった同じ時間で到達するものと勘違いをしていました。要は、前後部に到達する時間は射出物によって異なるが、前後の壁に到達する時間差はみな一緒になるということだったんですね。よくわかりました。
  ところで、NO９のsyotaoさんの所見にも関係することですが、Endlessriverさんの感想をお聞きしたいと思います。例えば、＞「たとえ列車が普通の速度で動いていて列車の中央から前後に2つのボールを投げて電車の前後端に同時に着いたとしてもそれは地上からは同時とみなされない。」というくだりですが、このことは私も勿論承知して投稿記事を書きました。私たちの日常の世界とアインシュタインワールドとはパラレルな世界ではなく繋がっているわけですから。

    補足日時：2023/10/29 19:48

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  でも光速を基準とする世界と私たちの世界を厳密に規定しようとすると逆に煩雑になって日常生活に支障をきたすと思います。時速１００㎞の車上から時速５０㎞のボールを投げたらボールは時速１５０㎞で飛んで行く、と学校では教えています。これでいいんだと思います。
  Endlessriverさんはこの種の話をされるときに、この辺から上は相対論を持ち出さなければ、という境界線みたいなものは意識されておりますか。例えば0.1C以上の世界とか・・・。変な質問ですみません。よろしくお願いいたします。

    補足日時：2023/10/29 19:53

No.11 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/29 20:25

1.

#9さんの感想ですが、1部足りません。述べたように、電車の
慣性系の同一地点で起こった同時は、地上から見ても同時です。

分かりやすい例ですが、電車の中央に爆弾とその点火装置があ
る。点火装置は2つの信号を同時(細かいことは抜き)に受けたと
き爆発する。

電車の両端からその信号を点火装置に向けて発射すると、同時
に信号は点火装置に到着するから爆発する。これを地上からみ
て信号が同時に到着しなければ矛盾となる(計算の示す通り、地
上から見ても同時)。

2.
>でも光速を基準とする世界と私たちの世界を厳密に規定しようとすると<
●これも意味不明ですが、(人間が解釈した)自然の理なので受
け入れるしかない。当然、周知のように、普通はガリレイ変換
で可。

なお、良く知られた例として、電線に流れる電流(電荷の速度は
亀のように鈍い)による電磁界の相対性は特殊相対論でないと説
明できないので、高速度というわけでもない。

なお、電磁気学の相対性を考えるとガリレイ変換ではぐっちゃぐ
っ茶な式となり、整合性も無くなる。

繰り返すと、どれだけ複雑になろうと受け入れるしかない。

この回答へのお礼

色々とご指導どうも有難うございました。大変勉強になりました。失礼いたします。

お礼日時：2023/10/29 21:24

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/29 21:12

>外の人との時間差は電車のどの部分の時間との比較なのでしょうか。

そんなものはないです。例えば外から(地上の座標から)電車内の時計を「同時に」見ると、電車の各部分で「電車内の時刻」が異なります。
それだけです。

>「ボールは光と違って質量を持つから質量増大の結果が加わる」
>ような気がするのですが

導出は読まれたんですよね？　「気がする」の根拠は？

ローレンツ変換は光速が変わらないようにガリレイ変換を
修正した時空の座標変換です。
ボールも電車もなくても座標系(慣性系)さえ設定すれば成り立ちます。
この点はガリレイ変換と同じです。

この回答へのお礼

詳しい作図をどうもありあがとうございました。これから勉強させていただきます。失礼します。

お礼日時：2023/10/29 21:29

No.10 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/29 16:57

①

>電車後部の時間は前部よりも進んでいるということでしょうか。<
●　x'=γ(x-vt) → x=x'/γ+vt
を
　t'=γ(t-xv/c²) ,
に入れて
　t'=t/γ-(v/c²)x'
ですから、静止系の時刻tのとき、運動系の時刻t' をみたら
運動系の座標x'が小さくなる(後方に行く)と、運動系の時刻
t'が大きくなる。つまり、電車の後部の時計が進んでる。

>もしそうだとしたら、外の人との時間差は電車のどの部分の時間との比較なのでしょうか<
●意味不明です。外の人の時間は外の座標系でどこでも同
じ。だから、外と電車の時間差は電車の座標系の各座標に
おける外から見た時間の比較の話をしている。


②
>「ボールは光と違って質量を持つから質量増大の結果が加わる」ような気がする<
●特に根拠もなく「気がする」だけでは、なんとも言いよう
が無い。

それと、ボールや光が到達したときの時刻の関係ですから
到達過程どうあろうと(遅く到達しようと早く到達しようと)
無関係です。

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2023/10/29 16:19

特殊相対性理論の立場からは地上に対して動く列車内で見て

同時に起こることは
地上の観測者からは同時に起こらないということです。
これは列車が普通の速度で動こうが亜光速で動こうが
同じことです。
たとえ列車が普通の速度で動いていて列車の中央から前後に
2つのボールを投げて電車の前後端に同時に着いたとしても
それは地上からは同時とみなされない。

この回答へのお礼

ご投稿どうも有難うございました。

お礼日時：2023/10/29 21:33

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/29 12:49

>#4の図は何を書いてるのかよくわからない。

ガリレイ変換
>のように見えるので短縮が得られるのか知ら?

時刻のずれははっきり図に出ていると思うけど
電車のスピードが 光速の 1/4 だとローレンツ短縮の短縮分は
3% ほどだから、あまり目立たないんですよね。

光速 の 1/3 にしてみました。これでも短縮は 6% ほどだけど
まあ見えると思います。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/29 06:46

#4の図は何を書いてるのかよくわからない。

ガリレイ変換
のように見えるので短縮が得られるのか知ら?

一般にローレンツ変換の時空図はよく知られたように次の
ようになる。同時にならないのは速度によらないことも自
明となる。

なお、短縮はx'軸のラインをx軸に射影すれば自明。

また、時空図はサイズなどが異なり、簡単な説明にしか適
しておらず、ユークリッド幾何学と違いペテン師たちの必
須アイテムとなっているので要注意(計算すれば簡単なの
に)。

訂正

#2ではS'系基準で無かったので訂正すると

S'系で時刻t'に到着したとき、S系では
　t₁=γ(t'+x₁'v/c²), t₂=γ(t'+x₂'v/c²)
の各時刻に到達する。するとS系の時間差は
　t₁-t₂=(γv/c²)(x₁'-x₂')
となる。

でした。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/28 18:34

#2の計算通り、時間差は、慣性系間の速度と電車の座標系

の距離だけに関係し、光やボールの速度に無関係。

質量増加(最近はそう考えはしないが)も無関係。

No.5 回答者： e12mv2 回答日時： 2023/10/28 18:16

「見える」ではない。

実際そうなるのである。
そしてどちらも正しい。
それが相対性理論の「相対性原理」である。

ここをきちんと体得しないと奥には進めない。

野球のボールを使っても同じことになる。
やはり同時性は破れる。
しかしその差は「人間が持っているどんな計測器を使っても測れない」ほど小さい。
つまり「無視できるほど小さい」。

ただし光と違って質量を持つから質量増大の結果が加わるが結局は同じことである。
「差は無視できるほど小さい。」

どのくらい小さいかというと、測定誤差のさらに数ケタ小さい。

この回答へのお礼

どうもありあがとうございました。参考にさせていただきます。

お礼日時：2023/10/29 21:31

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/28 16:58

グラフにしてみました。

電車の長さは 100 m で　速度は 光速の 1/4
ボールの速度は 光速の 1/2

縦軸は 時刻(単位は　μs)、横軸は位置(単位は m)。
左が電車中(電車が静止している座標系)、
右が電車の外(地上が静止している座標系)

図には電車の両端とボールの世界線が書いてあります。
#質問の図の書き方と同じ。ただし時間軸は上が正。

２つの図の関係はローレンツ変換といって、単純な一次変換です。
ボールの衝突時刻のずれや電車のわずかなローレンツ短縮が
見て取れると思います。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/28 14:29

ボールも光も 考え方は 一緒でしょ。

光の場合は 極小の差になる筈ですね。

この回答へのお礼

ご投稿どうも有難うございました。

お礼日時：2023/10/29 21:33