指数関数の引数が、なぜ無次元ですか?

指数関数の引数が、無次元であることを、よくテーラー展開から説明されますが、その説明が納得できません。テーラーの定理より、引数xの次元をLとすると、テーラー展開
のn項目の係数は、fのxのn回微分なので、Lのマイナスn乗の次元を持ち、これにxのn乗が掛けられるので、キャンセルするように思います。この議論にどこか間違いがありますか?
分かる方、どなたか教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/08 22:41

その「書籍等で説明されているテーラー展開によるもの」というのが

どういう説明なのかは知らない。
数学の教科書に単位付き計算の話が出てくるとは、ちょっと考え難いし、
物理の教科書であれば、数学的には頓珍漢なことが書いてある可能性が高い。

この話題は、あくまで趣味、好みの話であって、
数学上、理論的に合ってるとか間違ってるとかの話ではない。
No.1 No.5 に書いたことは、私の個人的な好みが
質問文中のあなたの考えと合うというだけのことだ。

真反対のアプローチとして、全ての関数は無次元量どうしの写像
でなければならず、 y = f(x) は、現象論として x, y が単位を持つとしても、
例えば x[s], y[m] なら、単位を吸収するための名目的な係数で割って
y[m]/1[m] = f(x[s]/1[s]) のように考える...という方法もある。
私はあまり好きではないけれど、これはこれで方法ではある。

ただし、f( ) が線型や低次の多項式のときだけ単位付きの関数で扱って、
f( ) が超越関数だと無次元量の関数にしなければならない...という考えは、
一貫性が無くて非常に美しくないとは思う。

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました。
なんとなく分かって来たように思います。
よく考えてみます。

お礼日時：2024/02/08 23:32

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/08 22:02

例えば、等速度運動をする物体の位置は、時間の関数として

x[m] = v[m/s]・t[s] + (x_0)[m] と書ける。
等加速度運動なら、
x[m] = (1/2)a[m/s^2]・(t[s])^2 + (v_0)[m]・t[s] + (x_0)[m].
これらの式は、各項の係数に適切な単位を与えることで整合する。
冪級数展開は、極大雑把に言えば無限次元の多項式のようなもの
だから、同様の方法で y = f(x) は任意の単位を持つ x,y について
特に矛盾なく解釈できる。 y = e^x や y = sin x でも同じこと。
e^(x[m]) を見ることは少ないが、e^(t[s]) ならよく見かけるし、
その際 e^(t[s]) と e^(t[h]) は同じか？と言えば、当然異なる。

まあ、こういった話は、純粋に趣味の問題で
理論的にどうこうということではないから、
議論しても、どちらが好きかの平行線にしかならないが。

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございます。
私も貴殿の考えに同意します。
それでは、書籍等で説明されているテーラー展開によるものは、間違っているとお考えですか?
この問題は、数学的には、証明できないと思いますか?

お礼日時：2024/02/08 22:25

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2024/02/08 20:24

貴方が言ってるのは、指数関数が定義できるのなら(かつ、その値が無次元量であるのなら)

>テーラー展開
>のn項目の係数は、(中略)、Lのマイナスn乗の次元を持ち

を満たしている必要があるという事。

一般には指数関数はexp(x)=Σx^n/n!またはこれと等価な定義が採用されています。n項目の係数(1/n!)は無次元量であり、貴方が満たすべきと思っている性質を持ってはおらず、この定義は採用できない事になります。

じゃあどう定義するのかという事が問題になる訳ですが、その先は貴方が思っている定義を具体的に書いてくれないと何もコメントできませんね。貴方個人で使う分にはどう定義してもらっても構わないのですが、一般にはそのような定義は採用されていない点に変わりはないので、通常の意味では無次元ではない量を引数とする指数関数は定義されないという点に変更はありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
でも、よく理解できません。何故、１/n!は、無次元量ですか？
それでは、指数関数ではなくとも、テーラーの定理が適用できる関数の引数は、全て無次元だと言うことでしょうか？
そうなると初等関数等の引数は、全て無次元ということになりませんか？

お礼日時：2024/02/08 22:01

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/08 11:47

＞ e^(1 m) とか sin(1 m) は何を返すべきなのでしょう？

＞ e^(1 cm) と e^(1 m) は同じなのでしょうか？

y = e^x の x の単位が何であっても整合するのと同様に、
y の単位も何であっても整合する。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/08 09:08

テーラー展開に関する形式的な議論は正しいです。

ただ次元を持つ e^x がどんな関数なのか、私には
よくわからないです。同様の話は sinx や cosx にも
有ります。

e^(1 m) とか sin(1 m) は何を返すべきなのでしょう？
e^(1 cm) と e^(1 m) は同じなのでしょうか？

この定義(意味)を考えなければならないと思います。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/07 20:57

いや、あってる。

あなたのほうが正しい。