No.7ベストアンサー
- 回答日時:
No.5です。
すみません。訂正します。うっかりしていました。
カイ2乗分布に従うのは、「平均が0」の標準正規分布に従う複数変量の2乗和です。
今、データ空間の重心は、原点から離れたところに存在していますから、非心化しています。
変量をその標準偏差で基準化したものの2乗和は、「非心カイ2乗分布」という分布に従います↓。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%BF%83 …
さらに、σで基準化しない場合は、2重非心カイ2乗分布に従います。
No.6
- 回答日時:
No.3です。
度々すみません、訂正です。
「自由度2のカイ二乗分布、カイ分布に従います」は、mx =
my = 0 のときです。そうでないときは、非心分布となります。
No.5
- 回答日時:
一般に、独立に正規分布に従う複数変量の2乗和の分布はカイ2乗分布に従いますが、2変量の場合は「指数分布」です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4 …
↑ここにも書いてあります。
No.3
- 回答日時:
x と y が独立で sx = xy = σ の場合、(x^2 + y^2)/σ^2、√{(x^2 + y^2)/σ^2} はそれぞれ自由度2のカイ二乗分布、カイ分布に従いますが、一般の場合、確率密度関数は簡単なものにはなりそうにありませんね。
一応、分散や標準偏差を求めることは難しくはありません。
期待値は他の方も記載されているとおり、
(mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2
となります。
x^4 の期待値は
E[x^4] = E[(x - mx)^4 + 4(x - mx)^3・mx + 6(x - mx)^2・(mx)^2 + 3(x - mx)・(mx)^3 + (mx)^4]
= E[(x - mx)^4] + 4E[(x - mx)^3]・mx + 6E[(x - mx)^2]・(mx)^2 + 3E[x - mx]・(mx)^3 + (mx)^4
= 3(sx)^4 + 4・0・mx + 6(sx)^2・(mx)^2 + 3・0・(mx)^3 + (mx)^4
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4
y^4 の期待値も x^4 と同様に求めることができて
E[y^4] = 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4
となります。
よって、x と y が独立であるとき x^2 + y^2 の分散は
V[x^2 + y^2] = E[(x^2 + y^2)^2] - E[x^2 + y^2]^2
= E[x^4] + 2E[x^2・y^2] + E[y^4] - E[x^2 + y^2]^2
= E[x^4] + 2E[x^2]・E[y^2] + E[y^4] - E[x^2 + y^2]^2
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4 + 2((mx)^2 + (sx)^2)((my)^2 + (sy)^2) + 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4
- ((mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2)^2
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4 + 2(mx)^2・(my)^2 + 2(mx)^2・(sy)^2 + 2(sx)^2・(my)^2 + 2(sx)^2・(sy)^2 + 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4 - (mx)^4 - (my)^4 - (sx)^4 - (sy)^4 - 2(mx)^2・(my)^2 - 2(mx)^2・(sx)^2 - 2(mx)^2・(sy)^2 - 2(my)^2・(sx)^2 - 2(my)^2・(sy)^2 - 2(sx)^2・(sy)^2
= 2(sx)^4 + 4(sx)^2・(mx)^2 + 2(sy)^4 + 4(sy)^2・(my)^2
標準偏差は
√V[x^2 + y^2] = √{2(sx)^4 + 4(sx)^2・(mx)^2 + 2(sy)^4 + 4(sy)^2・(my)^2}
となります。
No.1
- 回答日時:
まずは x^2、y^2 の分布を調べる必要があります。
(1) 平均
x に関しては、有名な公式
(sx)^2 = E[x^2] - {E[x]}^2
を使って
E[x^2] = (sx)^2 + (mx)^2
同様に
E[y^2] = (sy)^2 + (my)^2
従って
E[x^2 + y^2]
= E[x^2] + E[y^2]
= (mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2
(2) 分散、標準偏差
簡単には求められないと思います。
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