デルタ関数はステップ関数の微分として定義できるとおもいますが、そのまた微分はどういう関数になるのですか。
教えてください。またその高階微分もできたら教えてください、お願いします。

A 回答 (2件)

δ関数は超関数であって、普通の関数ではないので、不連続でも超関数の意味での微分が定義できます。


きちんとした証明を書くと定義から始まってとても長くなるので、直感的な説明をします。
(1) δ関数のフーリエ変換を考えた方が、使い勝手は良いかも知れません。δ関数のフーリエ変換 F{δ} = Integral[-inf, inf]{ δ(x) exp(-iwx) dx} = 1 ですよね。またf(∞)=0, f(-∞) = 0であるような任意の関数fについて、 F{f’} = Integral[-inf, inf]{ f’(x) exp(-iwx) dx} = {1/(iw)}F{f} (部分積分) です。だからF{δ’} = {1/(iw)}F{δ} ですね。高階微分は「以下同様」です。
  (2)δ関数とは、何か別の関数f(x)と畳み込み積分(*: convolution)したときに δ*f= fとなる超関数です。具体的に作ると、たとえば g(x)=( x<-1なら0, -1>=x>=1なら1/2, x>1なら0) というのを考えて、{s g(x/s)}を作り、s->0にしたときの極限がδ関数。ここで、gはこれでなくても構わないので、たとえばGauss関数(正規分布の形)をgとしてもよい。これでも{s g(x/s)}を作り、s->0にすればδ関数が得られます。
  (3) さてδ関数のn階導関数 δ[n] を考えるには、gとしてGauss関数を使った方が、何回でも微分できるので一貫性がある。δ[n]はgのn階導関数g[n]に対して{s g(x/s)}を作り、s->0をやれば得られます。
  (4) ところでδ[n] (n=0,1,2,...)はいずれもx=0以外では0になります。それなのにどれも別の関数です。δ[n]はnが偶数だと偶関数、nが奇数だと奇関数です。超関数はグラフの上では区別できないけれどいろんな奴があるということですね。
  (5) δ関数のn階導関数 δ[n] は δ[n] *f= f[n] となる。ここにf[n]はfのn階導関数です。((1)でも出てきた部分積分を利用すれば、δ[n] *f = δ*f[n] = f[n]が示せる。)つまりδ[n]を畳み込み積分するとはfをn階微分するのと同じ事です。{δ[n] *}を微分演算子と捉える考え方もあるのです。
  (6) 直感的にδ’を作ってみましょう。まず奇関数h(x):h(x) = (x>1 なら0, 1>=x>0なら1, x=0なら0)を考える。h(-x) = -h(x)です。これを不定積分したものをg(x)とすると
g(x)=Integral{h(x) dx} =「 (x>1なら0, 1>=x>=0なら1-x)という偶関数」です。これは(2)で出てきた奴。だから、{s g(x/s)}を作り、s->0にすればちゃんとδ関数になることが確かめられました。このhを使って、{s h(x/s)}を作り、s->0にしたやつ。これがδ’ですね。
  (7)超関数の定義の仕方はいろんなのがあります。本当は混ぜて使ってはいけないのでしょうが、実用上、その時々で都合のいい考え方に乗っかるのが便利です。実際、δ関数を(1)では定数関数f(x)=1の逆フーリエ変換として、(2)と(7)では三角形の関数の列の極限、(3)ではGauss関数の列の極限として扱っています。δ関数を扱いかねたときには、(2)や(7)の考え方が分かりやすくて良いです。
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デルタ関数δ(x) x=0以外では値は0, 0の時は無限大(?)


で0を含む区間で積分した時に有限の値を持つ
という関数でいいのでしょうか?

一般にある関数に必ず微分関数が存在するとは限りません。
滑らかな連続関数の場合には必ず存在することがわかっていますが。

δ関数の場合、x=0以外では、連続かつなめらかなので
微分関数y=0; ただしx=0を除く。
肝腎のx=0では「微分可能でない」(微分が存在しない)と思いますが
いかがでしょうか?
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