重心と、かかる加重について

たとえば、正六角形のテーブルがあるとします。
そのちょうど真ん中（対角線の交点）に６０ｋｇの人が
乗ったとします。
その時点では、各足に１０ｋｇの加重がかかります。
ある時、足の１本が折れました。
乗っている人が、そのままの位置（テーブルの真ん中）で乗り続けた場合、残った足に均等に１２ｋｇづつ加重がかかるものでしょうか？
理論的に説明ができず、こまっています。

No.7 ベストアンサー 回答者： LCR707 回答日時： 2005/08/21 13:16

「足が６本あるとき、それぞれの足に１０ｋｇの荷重がかかる」と言うのは、問題の前提条件なので、これを否定すると話が進まなくなります。

　それぞれの足とその荷重を、時計回りに、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとし、人の重さをＷとすれば、足Ｄが無くなったとき、荷重分布は軸Ａ－Ｄについて対称であり、
　Ｂ＝Ｆ
　Ｃ＝Ｅ
となるので、Ａ，Ｂ，Ｃについてのみ考えることにします。

まず、力の釣り合いより
　Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ＝Ｗ　　　…(1)
となります。次に、回転モーメントの釣り合いより
　２Ａ＋２Ｂ－２Ｃ＝０
なので
　Ａ＋Ｂ－Ｃ＝０　　　…(2)
となります。このあたりまでは簡単ですね。

　３個の変数を決定するには、もう１つ式が必要ですが、それには材料力学の知識が必要になります。とは言っても、バネについて知っていれば少しも難しくはありません。
全ての固体には弾性係数というものがあり、バネとしての性質を持っています。つまり力を加えれば伸び縮みします。木の棒であれ、金属の棒であれ、目に見えないほどですが、圧縮力を加えればそれに比例して長さが短くなります。
　６本の足が同じ材質で、同じ太さであれば（設問からすれば当然そうだと思いますが）縮み長さは力Ａ～Ｃに比例します。そして足の先端はどれも平面である床に接しているので、軸Ａ－Ｄ方向の座標とＡ，Ｂ，Ｃの大きさは直線関係になるので、
　Ａ－２Ｂ＋Ｃ＝０　　　…(3)
という式ができます。

　上記(1),(2),(3)の連立方程式を解けば
　Ａ＝　Ｗ／１１
　Ｂ＝２Ｗ／１１
　Ｃ＝３Ｗ／１１
になります。

最初に、「足が６本あるとき、それぞれの足に１０ｋｇの荷重がかかる」と言うのは、問題の前提条件であると述べましたが、これが成り立たないようなガタピシした机では、とても(3)の式は出て来ないでしょうね。

No.10 回答者： k_riv 回答日時： 2005/08/22 01:29

＃９さんに一票，特に，「力学マニア・・・云々」のところに・・・（笑）

ということで，懲りもせず，ちょっと計算してみました。
テーブルの足を（ABCDEF)とし，Dを欠損した場合で，残りの足に均等に荷重を負担させるには，荷重を重心位置に載荷させればよい。という仮定の下に，

全ての足の負担重量を
P=60/5=12kg
とし，この時の重心位置を，元の６角形の重心位置（対角線のうせんの交点）からAの方向にｘだけずらした位置にする。また，中心と足までの距離を１とすれば，
この時のA-D軸上の重心位置まわりのモーメントは，

A(1-x)＋2B(1/2-x)－2C(1/2+x)=0
ここで，A=B=C=12なので，
x=12/60=1/5=0.2

結果，
載荷位置を，６角形の中心から欠損した足と反対側に,中心から足までの距離の（1/5）＝0.2倍　ずらせば,この5本の足は均等に（12kg/本）を負担する。

というので,参考になりませんか?

No.9 回答者： sinn_o 回答日時： 2005/08/21 21:55

こんばんは！

基本的には＃７～＃８さんの考えに同意です。

でも少し(3)の式関連でコメントを。

「机の脚のみをバネと仮定する」というのは、結構大胆な仮定だと思います。

床はどうでしょう？ うちの床はソフトタイプのフローリング（？）ですが、ちょっと押しただけで簡単に１ｍｍくらい凹みます。（変位と力が比例してるかはよく分かりません）
一方、木材のヤング率のオーダーは１００，０００ｋｇｆ／ｃｍ２くらいですから、仮に長さ１ｍの棒を１ｍｍ縮めようとすると、１００ｋｇｆの力が必要となります。

仮に非常に堅い床の上だとしても、天板のたわみはどうでしょう？ 天板の場合、軸力ではなくて曲げですから、脚の縮みよりかなり大きそうです。
加えて、脚にも曲げモーメントかかりますよね。


つまり、＃７の解き方というのは、
「６本の脚の対称性」という前提の他に、
「床は完全な平面で、絶対変形しない」
「机は、脚だけ変形する。天板は絶対変形しない」
「脚は理想的弾性」
ということも前提となってます。

質問者におかれましては（「うわ、ちょっと聞いただけなのに、力学マニアぞろぞろ出てきちゃってワケわからんこと言うよ」と引いてらっしゃるかもしれませんが（笑））、手計算で出来る目安的答えは＃８さんの書かれている答えだけど、色んな仮定を入れての答えだから、実際はまた違う、という感じで読んでいただければよいかと。

No.8 回答者： LCR707 回答日時： 2005/08/21 14:31

　＃７です。

すみません。(3)式を間違えてしまいました。

　軸Ａ－Ｄ方向のＡ－Ｂ距離とＢ－Ｃ距離が等しいと思って(3)式を作ってしまいましたが、六角形の絵を書いて見ればわかるように、Ａ－Ｂ距離とＢ－Ｃ距離は１：２の関係にあります。従って、

　２Ａ－３Ｂ＋Ｃ＝０　　　…(3)

が正しく、これを使って連立方程式を解くと

　Ａ＝２Ｗ／１８
　Ｂ＝３Ｗ／１８
　Ｃ＝５Ｗ／１８

となります。

この回答へのお礼

みなさん、短時間のうちに、これだけの回答を頂きありがとうございました。
今回の質問をした理由というのは、簡単なプレス工程がありまして、プレスのシリンダー軸が中央にあり、ポジション的にばらばらな４点をプレスする場合、どうしてもプレス時、軸が傾いてしまうのでこまっていました。
みなさんに分かり易いようにテーブルを例にとって質問しました。
いろいろ回答を読んでいると、加重というより、力のモーメントがポイントのような気がします。
プレスする全ポイントの真上から押すのがベストなんでしょうね。

お礼日時：2005/08/21 21:54

No.6 回答者： inaken11 回答日時： 2005/08/21 11:41

ベクトルで考えるとわかるかも。

No.5 回答者： winnie777 回答日時： 2005/08/21 11:27

詳しくは判りませんが・・

超簡単にｗ
６本足だと　真下に荷重がかかるので６本すべて同じ加重ですが、
５本足だと加重が真下ではなく折れたほうの足に少し斜め下に荷重がかかります。
なので残った足には均等にはかかりません。
(折れた足の対角の足が一番軽いと思いますよ)

No.4 回答者： shkwta 回答日時： 2005/08/21 11:17

＞その時点では、各足に１０ｋｇの加重がかかります。

　まず、これ（↑）がまちがいです。足先に高さを調整するねじがついているテーブルがあります。この場合、荷重を均等にするには、６本の足の下にそれぞれ「はかり」を敷き、ねじを微妙に調整しなければなりません。調整しないテーブルの場合、６本の足の荷重はそれぞれ、バラバラの値となっています。

　バラバラとはいっても、「力の釣り合い」と「力のモーメントの釣り合い」の条件は、満たします。
６本の足の荷重を、時計回りにA,B,C,D,E,Fとします。

　まず、「力の釣り合い」は、合計が全荷重に等しくなければなりません。
　　　A + B + C + D + E + F = 全荷重

　つぎに、「力のモーメントの釣り合い」は、正六角形の場合《向かい合う２つの足を結んだ線の、左と右で荷重が等しい》と表わすことができます。これがつりあってないとテーブルはひっくり返ってしまいます。
　組み合わせは３組ありますが、そのうち次の２組が条件を満たせば、残りの１組(E + F = B + C)も自動的に満たされます。

　　　A + B = E + D
　　　A + F = C + D

これらの条件さえ満たせばいいので、A～Fの荷重は一般には《異なります》。

------------------------------------

次に、Aの足が折れた場合を考えます。
この場合、Aがなくなるので、条件の式は次のように変わります。

　　　B + C + D + E + F = 全荷重
　　　B = E + D
　　　F = C + D

この３つの式さえ満たせばいいので、B～Fの荷重は定まりません。足先にねじがついていれば、都合のよいように調整もできます。
しかし、２番目・３番目の式を見れば、「５本の足の荷重を均等にする」という調整が、不可能であることがわかります。荷重を7で割って、BとFに2/7, C,D,Eに1/7とする調整なら可能です。

No.3 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/08/21 10:31

足にかかる反力の合計と重力が等しくなりますから、５本の足に１２ｋｇづつかかるので解候補です。

しかし、力のモーメントは釣り合いません。
モーメントまで考えて各足の反力を求める問題は応力不静定で解くことができません（変数が５個で方程式が２個ですから答えは一つではありません）。
そう言ってしまうと、６本足でも解はないんですが。

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/08/21 10:26

均等には加重はかかりません。

xy座標軸上に正六角形を書いて、
その座標を（x1,y1）,(x2,y2),...,(x6,y6)として、
その重心
（(x1+x2+x3+x4+x5+x6)/6,(y1+y2+y3+y4+y5+y6)/6）
つまり、正六角形の中心、
にものを乗せたときに、足に均等に加重がかかります。

このうち、例えば、点(x1,y1)をなくすと重心がずれます。

このときは、座標
（(x2+x3+x4+x5+x6)/5,(y2+y3+y4+y5+y6)/5）
の点に物を乗せれば、残った足に１２ｋｇずつの加重がかかることになります。

No.1 回答者： yukichi10000 回答日時： 2005/08/21 10:25

立ち位置が同じで足がその重量に耐えられるものならば1本/１２kgだと思います。

全然理論的ではありませんが・・・