(1)x≧0、y≧0のとき、つねに不等式
√(x+y)+√y≧√(x+ay)
が成り立つような正の定数aの最大値を求めよ
(2)(1)aを用いて、x≧0、y≧0、z≧0のとき常に不等式
√(x+y+z)+√(y+z)+√z≧√(x+ay+bz)
が成り立つような正の定数bの最大値を求めよ
これらの問題なのですが、
学校では不等式の証明は「2乗して引いて証明」と教わったのですが2乗してもうまくできません。0以上という条件から相加相乗というのを使うのかと思いましたが・・・でした。
教えていただければ助かります
宜しくお願いします
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
まず2乗します。与式の左辺も右辺も0以上なので、
不等号の向きは変化しません。
(x+y)+2√{(x+y)y}+y≧(x+ay)
∴x+2y+2√{(x+y)y}≧(x+ay)
で、(x+ay)を左に移して
(2-a)y+2√{(x+y)y}≧0
2√{(x+y)y}=2√(y^2+xy)なので、
(2-a)y+2√(y^2+xy)≧0
式変形をして今、(2-a)y+2√(y^2+xy)が0以上になるaの最大値を
探しています。が、ちょっと大変なので、
「(2-a)y+2√(y^2+xy)の最小値が0以上になるような、aの最大値を探す」
という事にします。最小値が0以上なら、それ以外の値も
0以上になりますし。
ここで(2-a)y+2√(y^2+xy)をもう一度見てください。
(2-a)yにはxの文字がありませんが、2√(y^2+xy)にxがあります。
xの数値が変化しても、影響があるのは2√(y^2+xy)の部分のみで、
(2-a)yは変化しません。
なのでとりあえず、xがどんな値の時、2√(y^2+xy)が最小となる
「可能性」が出てくるのかを考えます。
ここで
「0<n<Nの時、√n<√N」
というルートの性質を使います。
2√(y^2+xy)のルートの中身、(y^2+xy)が最小となれば、
2√(y^2+xy)も最小となりますよね?
なのでx=0の時、2√(y^2+xy)は最小となる「可能性」が出てきます。
実際にx=0を代入すると
2√(y^2+xy)=2y
となります。
よって
(2-a)y+2√(y^2+xy) ≧ (2-a)y+2y ≧ 0
となります。
ここで(2-a)y+2y=(4-a)yです。また、y≧0なので
(4-a)≧0
∴4≧a
以上より、求める最大のaは4となります。
同様にして(2)も解けるはずです。
a=4を代入し、同じように2乗して左側にまとめると
-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)≧0
今回は式が長いので
-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)=A
として説明しますね。
(1)と同じように左辺を最小にするように考えます。
今回はまず2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}の部分から考えます。
2√{(y+z)^2+x(y+z)}も2√{z^2+z(x+y)}も、xの値が増えると増加します。
逆にxが最小(0)となれば、2√{(y+z)^2+x(y+z)}も2√{z^2+z(x+y)}も
最小となる可能性がでてきます。
x=0の時、
A→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)
=(5-b)z+2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)
これをまたBとおきます。
Bの式を良く見ると、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。
y=0の時、
B→(5-b)z+2z+2z
=(9-b)z
よって
A≧B≧(9-b)z≧0
z≧0なので
(9-b)≧0
∴9≧b
以上より、求める最大のbは9となります。
No.4
- 回答日時:
♯3です。
(2)の解答部分でややおかしい点があったので訂正します。訂正部分
――――――――――――――――――――――――――――――――
x=0の時、
A→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)
=(5-b)z+2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)
これをまたBとおきます。
Bの式を良く見ると、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。
――――――――――――――――――――――――――――――――
正しくは
――――――――――――――――――――――――――――――――
x=0の時、
A→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2}+2√{z^2+yz}+2√(z^2+yz)
=-2y+(3-b)z+2(y+z)+4√{z^2+yz}
=(5-b)z+4√(z^2+yz)
これをまたBとおきます。
Bの式を良く見ると、4√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、4√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。
――――――――――――――――――――――――――――――――
です。
すみませんでした。
No.2
- 回答日時:
√(x+y)+√y≧√(x+ay) 両辺を2乗して
x+2y+2√(xy+y^2)≧x+ay 整理して
2√(xy+y^2)≧(a-2)y さらに
2+2√(x/y+1)≧a
(x/y+1)≧1 なので左辺は
2+2√(x/y+1)≧4
よって与えられた不等式 √(x+y)+√y≧√(x+ay) が任意に成り立つaの最大値は4
上の結果より
√(x+y+z)+√z≧√(x+y+4z) よって
√(x+y+z)+√(y+z)+√z≧√(x+y+4z)+√(y+z) ここで右辺を
√(x+y+4z)+√(y+z)=√(x+3z+y+z)+√(y+z) とすると上の結果より
√(x+3z+y+z)+√(y+z)≧√{(x+3z)+4(y+z)}=√(x+4y+7z) が成り立つことがわかる。
bの最大値は7
No.1
- 回答日時:
√(x+y)+√y≧√(x+ay)‥‥‥(1)
(1)
√(x+y)=α、√y=βとすると、x=α^2-β^2、y=β^2.
これを(1)に代入すると、α+β≧√{α^2+(a-1)β^2}、α≧0、β≧0より両辺が正か0より平方しても同値。
平方して整理すると、(2-a)β+2α≧0。、β=0のときは任意に成立し、β≠0の時はα/β=tとすると、a≦2(t+1)であり、t≧0よりa≦2(t+1)≦2.
よって、aの最大値は2.
(2)
a=2で(1)より、√{(x+y)+z}+√(z)≧√{(x+y)+2z}。
√{(x+y)+z}+√(z)+√(y+z)≧√{(x+y)+2z}+√(y+z)。
√{(x+y)+2z}+√(y+z)=√{(x+z)+(y+z}+√(y+z)≧√{(x+z)+2(y+z)=√(x+2y+3z)。
以上から、bの゜最大値は3.
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