ラプラス変換の合成積(たたみ込み)についての質問です。
今回の質問では合成積の可換法則についてで、
f*g=g*f です。
ここで、gを矩形関数の場合を考えています。
合成積を計算する場合に関数をt-τかτに置き換えて積分するのですが,
矩形関数では関数の変数がないので、積分の際にfの変数の置き換えにt-τかτを選べると思います。
ただ単にg=1などならfの変数をt-τにしてもtにしても同じ結果になりました。
このとき、矩形関数だと積分範囲がある値からある値まで決まってしまい,
t-τの場合はtが残り、τの場合はtが残らないと思うのです。
これでは結果が変わってしまうのではと,思いました。
私のやり方が違うのでしょうか?どうでしょうか?
あまり詳細に書けず、すみません。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
補足質問の回答です。
>教科書通りだと、
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
>のようになっています。
これで合っています。
ラプラス変換の畳込みは一般的には以下が成り立ちます。
y(t)
=∫[0->t]f(τ)g(t-τ)dτ■
=∫[0->t]f(t-τ)g(τ)dτ▲
■の式でf(τ)=r(τ)とした場合が教科書の場合です。
次の質問の場合がは▲の式でg(τ)=sin 2(τ)とした場合ですね。
>しかし、たたみ込みでは
>y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
これは正しいです。
>y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
この積分範囲が正しくありません。
正しい範囲は(積分範囲t-1→t)です。
>と、できてもいいのでは、と思ったのです。
>私のやり方が違うのでしょうか?どうでしょうか?
積分範囲が間違っています。上のように積分範囲を訂正すれば正しい結果がでますね。
畳込みのr(τ-t)の存在範囲が
(t-1→t)であることに注意して被積分関数のr(τ-t)とsin2(τ)の図を描いてみれば理解しやすいかと思います。
なるほど。
rが変数tを持つ関数でなかったために、積分範囲についても■式のように考えてしまいました。
どうもありがとうございます。
No.2
- 回答日時:
積分範囲の計算が間違っていると思います。
g(t) = H(t-a) - H(t-b)
としてみると、([a, b]の矩形関数)
f(t)*g(t) = ∫f(t-τ)g(τ)dτ
= ∫_[a→b] f(t-τ)dτ
= ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ
f(t)*g(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ
= ∫_[t-b → t-a] f(τ)dτ
で当然ならが、同じ結果になります。
No.1
- 回答日時:
>t-τの場合はtが残り、τの場合はtが残らないと思うのです。
>これでは結果が変わってしまうのではと,思いました。
>私のやり方が違うのでしょうか?どうでしょうか?
式が書いてないので確認できません葉、最終的には積分変数はなくなり多分間違っているのでしょう。
単一矩形波の場合
f(t)=A{u(t)-u(t-b)}
ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,u(t)は単位ステップ関数
連続矩形波の場合
f(t)=AΣ(n=0→∞)A{u(t-nT)-u(t-b-nT)}
ただし、Aは振幅、矩形波の幅b,Tは矩形波の周期,u(t)は単位ステップ関数
のようにおいて計算しましたか?
参考URL
たたみ込み積分
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-3-2tatamikomi.htm
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF% …
この回答への補足
例として、2階の微分方程式…
y"+4y=r(t) , r(t)=1 (0<t<1) , r(t)=0 (1<t)
y(0)=0 , y'(0)=0
このときにラプラス変換から、たたみ込みで解くとします。
y(t)のラプラス変換をY(s)、r(t)の変換をR(s)とすると、
Y = R/(s^2+4)
となるので、r(t)とsin2tのたたみ込みになると思います。(係数は無視して)
また、 r(t)=u(t)-u(t-1) で積分することになります。
教科書通りだと、
y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
のようになっています。
しかし、たたみ込みでは
y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
と、できてもいいのでは、と思ったのです。
ちなみにu(t-1)の積分が良くわかりません…
もっと良いやり方があるような…
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