「科学」の中カテゴリーで同じ質問をしていましたが,十分に納得できないので,質問を締め切り,物理学のカテゴリーで質問させていただきます.
半径rの毛管を水面につけ表面張力によって高さhまで毛管内に水が上がってきたとします.毛管内には球面状のメニスカスができます.この球面に作用している力はこの面を上から押す下向き圧力P0,下から押す上向き圧力P,そして円周に沿って上向きに作用する表面張力σの鉛直成分σcosθです.このときの力の釣り合い式はπr^2P0=πr^2P+2πrσcosθなのですが,P,P0に関しては球面に作用する力なのに,πr^2として毛管の断面積をかけています.次元としては全ての項がエネルギーになりますが,この点がシックリ納得できません.球面に作用しているのに平面積をかけても良いのでしょうか?気持ち悪くて夜も眠れません.
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
>> (大意) メニスカス面に作用している力は圧力差 Po-Pと、円周に沿った上向き表面張力σの鉛直成分σcosθです.力の釣り合い式は πr^2(Po-P)=2πrσcosθ なのですが,圧力は曲面に作用してるのにπr^2という平面をかけてあります.この点がシックリ納得できません. <<
1.思考実験
丸いプラスチックフィルムを用意し、円周に多数の糸をつけてパラシュートを作ります。水を 1kg 入れて 糸ぜんぶをバネ秤で吊ります。フィルムがどんな形に脹らんでも 秤の表示は 1kg ですよね。 フィルムがフニャフニャでひどく伸びたとしても 秤の表示は同じですよね。
これを、膜にかかる圧力ベクトルの分解で理解しましょう。縦成分と横成分です。
垂れ下がってる形の左半分と右半分とで、横成分は向きが反対なので打ち消されます。縦成分は;
\ 任意曲面の
横成分 _______ \微小面積dA
/| \
/θ|
圧力Pは 縦成分=Fcosθ
面に垂直。
面を押す力F=PdA
縦成分 = Fcosθ
= PdAcosθ
= P(dAの射影成分)
↑ ↑
これが肝です。
縦成分はどこも下向きだから単純に足し算になります。つまり
縦成分の合計
= P(面dAの射影成分 の合計)
= P(任意曲面全体の底面積)
= P(今の場合は管の断面積)
ということで球面に限らず任意曲面です。(と言っても重力下の水だから自ずと限られますが。) 蛇足ながら、横成分が打ち消すとか 縦成分が単純和だというのは、水面が(ひどくひどく弱いけど)プラスチックのような膜で横方向のつながりがあって、ロープのように力を伝達する事による結果です。気体との違いですね。 なお、圧力差Po-Pを圧力Pと言っちゃってますが勘弁してください。
余談;
実はメニスカスは天文用語なのでした。ギリシア語で 月+育ち盛りの男児=新月の細い三日月。液面を横から見るとこのネーミング納得するでしょう?これを書こうとレスしましたw
ご丁寧な解説でばっちり納得できました.ベクトルの正射影というものの使い方も始めて知りました.これでやっと枕を高くして寝られます.ありがとうございました.
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