4次元とは

Question

1次元の世界では2次元は表現できません。
同じように2次元では3次元を表現できません。
という事は我々の住む3次元の世界では4次元の
世界を説明する事ができないことになります。
先日別の質問でさらに90度の線を引くことが
できればそれが4次元、相対性理論では第4の軸を
時間としていると伺いましたが、どうなのでしょうか？

apple-man · Accepted Answer

＞縦、横　高さで　　　　　　　　　　　　　　　　　　
表現することが3次元の世界だと
思っていました。これは特殊な例ということ
でしょうか。

　まず数学的にいろいろな次元の定義があって、
その一部を物理に応用しているので、次元と
言ってもいろいろあるんですが、他の
方の回答はそれらを全部混ぜて回答して
いるんで話が可笑しいんです（笑）

　３次元方程式と言ったって、３次元
空間を描く式じゃないですよね。

　縦、横　高さが３次元と言っているのは
幾何学的意味でのベクトル次元で、
空間の１点を示すのに必要な最低限の
ベクトルの数です。
　縦、横　高さの３つを指し示す
方向（ベクトル）がないと、空間の
１点を指し示すことができないと
いうことで、３次元（空間）でいいんです。

　物体の運動速度によって、時間の
進み方が違うのは、空間が時間軸
方向にゆがむからだというのが、
相対性理論です。

yappe · Answer

>＞高次の現象（世界）はそれより低次の現象に現れるので
>例えば我々3次元の世界ではどういった現象が現れているのでしょうか？

高次元の一部である我々の世界・・・・
高次元世界の歪みが　我々の世界の物理法則の原因であると考えられています
歪みというのは　屈曲率　

↑

数学的な手法で　この世界を解析しようとする方法の成果で　我々の世界は10の次元をもった世界で　時間と３次元の空間を除いた残りの次元は　空間の各格子に丸まってついてると考えられてきましたが　もっと開いた状態・・・・ではないかと思われはじめています

atomicmolecule · Answer

２次元の成分、つまり地表に張り付いた人間は地球が丸いということをどうやって知ることが出来るでしょう。不可能ですか？　いえ可能なのです。色々と方法はありますが。

（１）単純にはずっとまっすぐと進んで行けばよい、いずれ地球一周してもどってきます。地球は丸いということが分るはずです。
一周しなくもて分る方法はあるか？　あります。

（２）地球表面はまっ平ら（理想的な話として聞いてください）だとします。地球表面にどこも同じような割合で木を植えます。　例えば１ｍ×1ｍの広さには一本の木があるな密度で植えてゆきます。植え終えた後で、次のような計算をします一辺が１Kmの正方形の領域を縄で囲み、中に入った木の数を数えます。

1ｋｍ×１ｋｍ＝１０００ｍ×１０００ｍ＝１００００００ｍ＾２の広さですから木の数も１００００００本になるはず？と思われますが、地球が丸くないときにはこの計算でよいのですが、地球がまるいためにこの木の数より多くなります。この事から地球が丸いということが分ります。（あくまで理想的なはなしですが）。　理由はサッカーボールに線を書いてみればわかるでしょう。球体表面はふっくらと膨らんでますから、面積は縦×横よりも大きくなるのです。

（３）または地球表面に三角形を書いてこれの内閣の和を図る方法もあります。地球表面では内角は１８０よりも大きいので地球が曲がっているといえます。


このようにして想像できなくても空間の曲がり方をはかる方法はあるのです。２次元平面だけでなく、３次元空間（時間はいれません）が曲がっている場合もその曲がりを測定する方法はあります。

曲がっているから高次元があるかどうかというのはまた別問題ですが、最近の科学者は高次元空間があると思っているようですね。小さく丸められているので分らないそうです。そういうことに興味があればブライアン・グリーン著の「エレガントな宇宙」を読むと面白いですよ。きっと興奮できる話が色々載っているでしょう。

maekawadesu · Answer

昔々、といってもほんの数百年前のお話です。
人々は大地を「平ら」だと信じていました。

ある人はこう言いました。
「大地は丸い。」
人々は笑いました。
「大地が丸かったら端の人は大地にしがみつかなくてはならない。」
ある人はさらにこう言いました。
「それでも大地は丸い。」

高次の現象（世界）はそれより低次の現象に現れるので、低次の住人はその現象を観測することにより、高次の現象を理解することが出来ると考えます。
高次の理解をすることは、高次の現象を間接的に知ることであり、それは、低次でおきるより複雑な現象の理解につながると考えます。

皆さんがおっしゃるように、数学的には何次元でも可能ですが・・・。

yappe · Answer

＞私が今思っている４次元空間とは、ある物体の４次元方向に進むとまたその物体に戻るような方向なのですが。根拠もなにもありませんが、机上の計算式よりなんだか魅力的？だと思いませんか？そういった想像の部分でもいいのですが。。。。そしてそれは宇宙空間だと思っています。宇宙の果ては無いという事で。

宇宙論の中には　そう言う物も存在しますが　時間軸とは関係ありませんね

無限に広い空間で　一方向に進んで元の位置に戻ることはありません
閉じた空間なら　有りますけど　有限の宇宙

平面が　凸状になり　端か閉じて　球面になるように　三次元の立体が　多次元空間方向に屈曲して　橋が無くなれば・・・・・

atomicmolecule · Answer

supraさんの今の理解で良いと思います。第４の軸を時間座標にした理論空間を考えて４次元空間という意味です。これが我々の眼に見えないのは当然なのです。もう一つの軸は時間ですからその方向へ移動するということは時間が経つということです。例えば我々は止っているだけで４次元時空の時間軸の方向へ移動しています。第４の軸の方向は見えるわけではなく我々が老けてゆくことで認識するものです。それが空間座標と９０度かどうかと聞かれても、数学的には９０度なんだけど角度は見えません（角度も数学的にちゃんと定義しなくてはなりません）。特殊相対性理論を勉強すれば分りますよ。

それで質問の答えですが、我々が見えないから４次元の世界のことは分らないかというとそんな事はありません。見えなくてもちゃんと理解出来るし、表現もできるのです。数学者は５次元や６次元のことも研究しています。統計力学ではN＝アボガドロ数程度の位相空間なども出てきます。また相転移の理論ではよく２．？次元とか整数ではない次元の話も出てきます。これは少し話の流れが違いますが・・・

とにかく見えないものもちゃんと扱えることもあるという事です。もちろん難しいですが。

atomicmolecule · Answer

（１）直交と言う言葉を数学的に定義すれば、4次元は4つの直交する軸が張れる空間ということになります。

（２）注意して欲しいのは、4つの直交する軸があるからといって、それが時間と、空間（ｘ、ｙ、ｚ）の軸になっているかどうか別物です。相対性理論では時間軸は空間軸に直行していなくてもかまいません。　空間3次元と直交する軸はちゃんとありますよ、でもそれが時間軸と一致していない場合もあるということです（詳しくは特殊相対性理論を勉強してください）。

（３）ここで言う直交は数学的に定義されたもので、目に90度の角度が見えるわけではありませんので注意してください。想像の世界です。

norioP · Answer

時間でなくて色（明度）でもいいでしょう。
３次元空間の点に，白→灰色→黒　といった色をつけると
これも４次元でしょう。
この色が時間的に変化すれば５次元でしょう。

atomicmolecule · Answer

＃２さんが言っているのは、相対性理論を持ち出さなくても時間＋空間の3次元で4次元ということです。相対性理論ではこの4次元が関係しあうという事です。
単純に言うと4つの目盛りがあればそれは4次元です。例えば林檎の数=x、地球の重さ=y、supraさんの頭髪の数=z、私の年齢=t、これで4次元(x,y,z,t)です。4つの数を与えれば　林檎の数、地球の重さ、supra頭髪数、atomic年齢がきまります。これで数学的には4次元です。
この場合x+yには意味がありませんね？
林檎の数と地球の重さ足したからって何か意味のある数にならない。supra頭髪数+atomic年齢も意味がありませんね？

それでも4次元と言う事に間違いはありません。単純には数を4つ並べたら4次元です。　相対性理論では時間*光速、空間座標を並べます(ct,x,y,z)。　この場合ctとｘを足す事には意味が出てきたりして4つの数が複雑に関係しあうというのが相対性理論です。

数学的に厳密な4次元の定義は言いませんでしたが、大体の話はそういうことです。特に想像できることと実在は関係ないのです。4つ（独立な）数があれば4次元なのです。

ojisan7 · Answer

別に相対論を持ち出さなくても、わたしたちの世界は４次元です。わたしたちの世界で起きる事象を記述するときには、必ず時間と場所が必要ですから。（超弦理論では10次元が必要ですが・・・）

わたしたちの、周囲にはいろいろな次元があふれています。５次元、６次元、・・・無限次元、分数次元（ハウスドルフ次元）等々・・・

>我々の住む3次元の世界では4次元の
世界を説明する事ができないことになります。

ということですが、上記のようにどんな次元もちゃんと説明できています。「クラインの壺」のような現実には存在しない？壺の性質も詳しいところまで研究されています。現実には存在しなくても、数学的実在として存在するのです。

4次元とは

＞縦、横 高さで

>＞高次の現象（世界）はそれより低次の現象に現れるので

２次元の成分、つまり地表に張り付いた人間は地球が丸いということをどうやって知ることが出来るでしょう。

昔々、といってもほんの数百年前のお話です。

＞私が今思っている４次元空間とは、ある物体の４次元方向に進むとまたその物体に戻るような方向なのですが。

supraさんの今の理解で良いと思います。

（１）直交と言う言葉を数学的に定義すれば、4次元は4つの直交する軸が張れる空間ということになります。

時間でなくて色（明度）でもいいでしょう。

＃２さんが言っているのは、相対性理論を持ち出さなくても時間＋空間の3次元で4次元ということです。

別に相対論を持ち出さなくても、わたしたちの世界は４次元です。

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＞縦、横　高さで　　　　　　　　　　　　　　　　　　