行列の特異点？？

長文失礼します。

あまり、うまく説明できないんですが3×3のある行列Ａがあるとします。
成分は
｜0　0　-1｜
｜0　1　0｜
｜1　0　0｜
です。

ある文献にこの行列には『特異点』が存在するとあったので、どういうことか考えてみて、逆行列がないことが特異点が存在するということだと思い計算してみましたが行列式は1となり、逆行列は存在するということが分かりました。

行列の考えにおいて特異点とはなんなのでしょうか？？そもそも特異点というのはなんでしょうか？？？

ご教授いただけると嬉しいです。

No.1 回答者： noname#17350 回答日時： 2006/05/15 21:06

例えば、

|J|=|cosθ -rsinθ|
　　　|sinθ rcosθ|
という行列があった場合を考えます。
となりますよね。
この際、|J|=0というような点Sがあれば逆行列は存在しないことになります。このような点Sを特異点といいます。
この例で言うと、
|J|=rの為、r=0が特異点となります。

なので、ご質問にあったように逆行列が存在しない条件を求めればいいわけです。
よく考えてみると、この行列には逆行列が存在しません。
おそらく質問者様が計算したのは、

A=0 0 -1
　0 1 0
　1 0 0
という行列の、|A|の部分だとおもうんです。確かに|A|=1となります。

しかし、逆行列というのは、A*A^-1=I(Iは単位行列)となるA^-1のことを指します。
単位行列は、対角成分が全て1であり、その他が0となるので
1 0 0
0 1 0
0 0 1
となります。

ここで、Aにどんな行列をかけても、必ず一番左上の成分が0になってしまうことが分かると思います。
なので逆行列は存在しません。
おそらく、「|A|=0の場合は逆行列がない→|A|が0でなければ逆行列はある」と認識してしまっていると思うのですけど、|A|が存在する＝逆行列が存在するというわけではありません。

この回答への補足

なるほど。やはり行列式が０になるものが特異点ですか!!
Ａの行列のもとはたしかに三角関数を使っていたような気がします。確かめてみます!!!

ちなみにＡは余因子行列を使って逆行列を求めたら、
A^-1＝
｜0 0 1｜
｜0 1 0｜
｜-1 0 0｜
というものが存在するようです。

補足日時：2006/05/15 22:36

No.2 回答者： noname#17350 回答日時： 2006/05/15 23:23

・・・バリバリ嘘つきました；

普通に逆行列ありますね・・・；
なので、特異点はないと思います・・・

No.3 回答者： DreaMMaster 回答日時： 2006/05/16 09:16

その文献では「特異点」をどう定義しているのかを抑えることをお勧めします。

この回答への補足

簡単に説明すると、
『3×3の三角関数(cosθ、sinθ)の含まれる行列があってθ＝πでは特異点になる』
みたいな話です。

おそらく行列式を計算して０になるθを求めればいい気がするんですが、いくら計算しても1になります。

補足日時：2006/05/16 11:04

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2006/05/16 17:24

＞3×3の三角関数(cosθ、sinθ)の含まれる行列

が「回転行列」などと呼ばれていて、しかも、周囲に「オイラー角」という言葉が出てくるのであれば、

θ=πの場合には、回転行列からオイラー角が一意には決まらない

という事を言っているのかもしれませんね。

この回答へのお礼

あぁ！！
「回転行列」「オイラー角」という単語はでてきています!!!

たしかにθ=πで特異点とも書いてありました。
でも、θ=π/2で特異点とも書いてあって何が何だがさっぱりです。

でも考えて見ます。ありがとうございました

お礼日時：2006/05/17 13:23

No.5 回答者： DreaMMaster 回答日時： 2006/05/17 14:53

#2のものです。

　なんの本かはしりませんが（行列の理論や線型代数の理論でしょうか？）その本の１ページからずっと読み直して見られたらいかがでしょう。どこかで「特異点とは○○のことである」とかいていませんか？それとも、「特異点とは、逆行列が存在しない点」と書かれているのでしょうか？
　また、三角関数を使った行列の、代入する前はどういう行列で、何と言う名前がついているのでしょう。

　その辺をきちんと押さえたらわかるのではないかと思いますが。

この回答へのお礼

特異点とは、逆行列が存在しない点みたいな記述はあったように思います。
なんかよくわからない質問ですいません。

お礼日時：2006/05/19 17:45

No.6 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/05/17 21:22

#4です。

ネットで検索して得た程度の知識しかありませんが、

例えば、２次元の平面を極座標で表すと、原点以外では(r,θ)と平面上の点が1対1に対応しているのに、原点においては、θが一意に決まらず、おかしなことになってますよね。
つまり、原点が特異点みたいになっているわけです。
このように原点が特異点に見えるのは、原点が本当に「特異点」なのではなく、「極座標」を使って平面上の点を表したからに他なりません。実際,xy座標で表した場合には原点は普通の点ですよね。

同じような事は３次元空間を極座標で表した場合にも起こります。r=0の時,θ=0,πの時が特異的です。が、これも、極座標で表したから、そう見えるだけです。


ご質問の「特異点」というのも同じような意味ではないかと思います。

つまり、θ=πの場合に、「回転」自身がが特異的なのではなく(行列式がゼロになる、とかそういう話ではなく)、
「オイラー角を使ってその回転を表したら特異的に見える(＝オイラー角が一意に決まらない)」という意味ではないでしょうか。

・・・と、解釈して矛盾がなければいいのですが(笑)

この回答へのお礼

さきほど教授に聞いたらeatern27が言ってらっしゃる説明に近いことを言われました。

詳しく説明してくださってありがとうございました。

お礼日時：2006/05/19 17:47