No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「区分的に連続」はリーマン積分可能であるための十分条件です。
区分的に連続でなくても(不連続点を稠密に含んでいても)リーマン積分可能な関数も存在します。ところで、質問者さんが例示している関数f(x)ですが、これはX=3で不連続ですが、この関数は典型的な「区分的に連続な関数」です。したがって、リーマン積分可能です。
回答ありがとうございます。
積分可能ということは、この場合xを0~1と1~2にわけて考えるということなのでしょうか?
その場合 f(1)= 3は無視していいのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
まず、議論をクリアーにしましょう。
>リーマン積分は与えられた閉区間で区分的に連続ならば積分可能とあったのですが、
> (中略)
>x=3で区分的に連続とはいえないのでリーマン積分不可能のようなきがするんですが・・・。
もしfが区分的に連続でないとするなら、最初の定理は使えません。
したがって、そもそも積分可能か、不可能か、さえも分かりません。
結論を言えば、#1のいうようにfは区分的に連続なので、積分可能です。
しかし、直接ダルブーの定理などを使っても証明ができるはずです。
ちなみに、リーマン積分には測度の概念は必要ないと思うのですが。
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