微分について質問

三角関数の微分について質問です。
1）ｙ＝ｘcosｘは、積の微分法を使って答えは、cosｘ－ｘsinｘ。２）sin（-2x＋3）は、合成関数を使って答えは、－２cos（-2x+3）になるのですが、２）の問題は1）の問題みたいに積の微分法で求める事はできませんか。また、どういうときに積の微分法、商の微分法、合成関数、逆関数ででもとめるか見分け方を教えてください。」

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/26 16:02

積の微分は使わないと思います。

積の微分を使うのは、f(x)g(x)というように、
xの関数が複数、積の形になっているときです。
sin(-2x＋3)は、一つの関数でしかありません。

xcosxは、x(=f(x))と、cosx(=g(x))の積になっている
から積の微分を使うのです。

sin(-2x＋3)を微分するときに何故合成関数の微分
を使うかというと、-2x＋3というものをひとかたまり
と見るからです。ほかにも、log(3x＋2)とか、
e^(2x^2＋1)とか、tan(5x-9)とか、全て合成関数の微分です。ある関数の変数が,xの関数になっているような場合です。つまり、sinXとかcosX,tanX,logX,e^Xの微分は全て決まっていますけど、そのXがxの関数：2x＋3とかになってる場合に合成関数の微分を使うのです。
商の微分は、積の微分でもできますけど分数の形になっているときは商の微分を普通使います。

No.4 回答者： noname#20691 回答日時： 2006/07/27 02:14

ひょっとして...

sin(-2x+3) = sin × (-2x+3)
と思っていませんか？（そうでなければゴメンナサイ。）

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2006/07/26 22:44

＃２のspringsideさんがご回答されていることの補足にしか過ぎません。

積の微分と合成関数の微分の具体的な例を書いておきますので，あとの分はご自分でフォローしてみてください。
●積の微分：φ(x)=f(x)・g(x)となっている場合
　φ'(x)=f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
y=xcosxの場合はφ=y，f(x)=x，g(x)=cosx
●合成関数の微分：φ(x)=f(ax+b)となっている場合
　t=ax+bとおくとdt/dx=a
　dφ/dx=(dφ/dt)(dt/dx)
　　　 =(df(t)/dt)(dt/dx)
a(df(t)/dt)
y=sin(-2x+3)の場合はφ=y,f(ax+b)=sin(-2x+3),t=-2x+3

No.2 回答者： springside 回答日時： 2006/07/26 19:12

御疑問の点がよくわからないのです。

積の微分法を使う場合→微分する関数が「積」の形のとき
商の微分法を使う場合→微分する関数が「商」の形のとき
合成関数の微分法を使う場合→微分する関数が合成関数になっているとき
逆関数で求める場合→微分する関数が、ある関数の逆関数になっている場合

というごく当たり前のことなのですが．．．。