1+1/16+1/81+1/256+・・・・の和がπ＾2/90？？

先日ネットサーフィンをしていたところ、とあるページに「1+1/16+1/81+1/256+・・・・の和はπ＾2/90」と書いてありました。
そこで質問です。ここではsinをマクローリン展開したものを使ったらしいのですが、なぜこうなるのでしょうか？？

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#24129 回答日時： 2006/10/02 23:12

明らかに誤りです。

というのは、π^2がおよそ9、それを90で割って、およそ0.1これは第一項の1にも満たないからです。


一般に、べき関数
f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+…+a_nx^n
の導関数は
f[1](x)=a_1x^0+2a_2x^1+…+na_nx^(n-1)
f[2](x)=2a_2x^0+3a_2x^1+…+n(n-1)a_nx^(n-2)
…
f[n](x)=n!a_n
ただし、f[k](x)はf(x)のk次導関数。

これらの式に、x=0を代入して、
f(0)=a_0
f[1](0)=a_1
f[2](0)=2a_2
f[3](0)=3・2a_3
…
f[n-1](0)=(n-1)!a_(n-1)
f[n](0)=n!a_n

これらを使って、最初に与えられたべき関数の係数を、それ自身の導関数で表示することができる。すなわち、

f(x)=f(0)x^0+f[1](0)x^1+f[2](0)x^2/2+f[3](0)x^3/(3・2)+…+f[n](0)x^n/n!・・・（Ａ）


いま、f(x)=sinxを考えると、
f[1](x)=cosx,f[2](x)=-sinx,f[3](x)=-cosx,f[4](x)=sinx=f(x)…
なので、
f(0)=0,f[1](0)=1,f[2](0)=0,f[3](0)=-1,f[4](0)=0…
このように、循環する。
（Ａ）の形式で、sinxを展開すると、奇数次の項のみになり、

sinx=x^1-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…+x^(4m+1)/(4m+1)!-x^(4m+3)/(4m+3)!

ただし、mは自然数で、大きな値をつかうほど、sinxに近づく。といっても、べき奇関数のグラフと、正弦波のグラフは明らかに異なっていて、この近似は、-π/2≦x≦π/2の範囲あたりで有効なのだと思う。

これをマクローリン展開というのかどうかは知りません。なにしろ独学なので、理科年表の公式集に級数展開の一つとしてあげてあるのを確認したのみです。

もしそうなら、

x=1(ラジアン)のときの、
1/1!-1/3!+1/5!-1/7!…≒0.841
である。なぜなら、sin1≒0.841だからである。

や、

x=π/2のときの、
(π/2)/1!-(π/2)^3/3!+(π/2)^5/5!-(π/2)^7/7!…≒0
である。なぜなら、sin(π/2)＝0だからである。

というような形ならありうると思うのです。

No.6 回答者： noname#24129 回答日時： 2006/10/06 19:41

たとえば、ゼータ関数

ζ(2)=1/1^2+1/2^2+1/3^3+…=π^2/6

の証明の骨子は、次のようになると思います。



sinxは、無限積展開によって、

sinx=xΠ(k=1 to ∞)(1-x^2/k^2π^2)　　・・・(1)

また、マクローリン展開(特殊なテイラー展開)によって、

sinx=1-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…　　　　・・・(2)

と展開できて、(1)(2)のx^3の係数を比較すると、

(-1/π^2)(1/1^2+1/2^2+1/3^3+…+1/k^2+…)=-1/3!

∴ 1/1^2+1/2^2+1/3^3+…=π^2/6


この理解で、私自身がつまづいた点を書けば、参考になるでしょう。


無限積展開は因数定理をもとに考えられ、

sinx=xΠ(k=1 to ∞){(x-kπ)(x+kπ)}

が分かりやすい形であると思いますが、これを変形して、

sinx=xΠ(k=1 to ∞)(x^2-k^2π^2)

係数を調べるため、より具体的に表すと、

sinx=x{(x^2-π^2)(x^2-2^2π^2)(x^2-3^2π^2)…}

{ }の中で、x^2の係数は、・・・　複雑です。ここでつまづきました。


結局、因数定理を適用するときに、

sinx=0の一般解、x=kπ(ただしkは整数)をそのまま使って、

sinx=…(x-2π)(x-π)x(x+π)(x+2π)…

とするのではなく、

(1-x/kπ)というのも、x=kπのとき0となるから、sinxの因数として考えられ、

sinx=…(1-x/2π)(1-x/π)x(1+x/π)(1+x/2π)…

これから、(1)とすればよいのだと理解しました。

(1)の形なら、積の因子のうち、一つから、x^2の項をとりだし、残りの因子からは1を取り出して積とするので簡単です。この取り出し方をすべての場合について考えて、それを無限に足したものから、x^2の係数が分かりました。

皆さんの回答を参考にさせていただきました。とても興味深かったです。

No.5 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/10/02 23:56

π^2/90ではなくてπ^4/90ですね。

それからsinのマクローリン展開ではなくて無限積展開ではないでしょうか。
sinx=xΠ（n=1～∞)(1-x^2/(n^2π^2))がなりたちます。
右辺のx^3の係数は-1/π^2(1+1/2^2+1/3^2+....)
sinのテイラー展開のｘ＾３の係数は-1/6だから
1+1/2^2+1/3^2+....=π^2/6が成り立ちます。
無限積展開のx＾５の係数は
1/π^4*Σ（m,n)1/m^2n^2(m,nは自然数、等しくない）
ここで
Σ（m,n)1/m^2n^2=1/2*(Σ_n(1/n^2)^2-Σ_n(1/n^4))
sinのテイラー展開のx＾５乗の係数は1/120であるから
Σ_n(1/n^2)^2=π^2/6を代入
1/120=1/2*1/π^4((π^2/6)^2-Σ_n(1/n^4))
Σ_n(1/n^4)＝π^4/90が得られる。
ほかにもフーリエ級数を使ったりいろいろなもとめ方があ
ります。

No.4 回答者： cabinessence 回答日時： 2006/10/02 23:54

ご参考。

参考URL：http://k.osask.jp/wiki/index.php?math%2F02

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2006/10/02 23:40

(π＾4)/90ですね。

以下のリンクで似たような質問がありました。多分、応用できるのでは？

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76611

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76611

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/10/02 23:39

これはゼータ級数と呼ばれるものの一種です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC% …
ちなみに、和は π＾2/90 ではなく π＾4/90 です。
どうやって計算したんでしょうね。