周の長さは同じなのに面積が違う？？？

Question

縦の長さをa、 横の長さをbとすると、その四角形の面積SはS=a*bとなりますよね（当然ですが）。ここで、仮にa=3, b=1とすると、その面積は3*1=3となります（これをS1とします）。そして、aの長さから1引いて2(a-1=3-1=2)、bの長さから1足して2(b+1=1+1=2)とすると、a=bとなり、このとき面積は最大の2*2=4となります（S2とします）。

#縦3、横1の四角形
□
□
□

#縦2横2の四角形
□□
□□

S1の面積は3ですが、周の長さは3+1+3+1=8です。S2の面積は4でS1より大きいですが、周の長さは2+2+2+2=8でS1と同じになります。

単位をmとするなら、同じ8mのひもをどのような形にとりつくろっても中の面積は同じように思えてしまいますが、どうして周の長さは同じでも、作る形によって面積が変わるんでしょう？不思議で仕方ありません。四角形にこだわらなければ、もっとも面積が大きくなるのは、円の状態ですよね。これも不思議です。。。

また、aを150から1ずつ減少させ、逆にbを1から150まで増加させていくと、

a=150, b=1
a=149, b=2
a=148, b=3
 ・・・
a=1, b=150

のようになりますが、横軸に1-150の数値をとり、縦軸に面積をとって、プロットするとf(x)=ax^2+bの放物線になりますが、こういう性質を利用して、何かの問題を解くのに便利なことってあるのでしょうか？

noname#84841 · Accepted Answer

感覚で考えるなら、実際にやれば分かりますが。

水を満タンにしたペットボトルを用意します(蓋はしません)。
ペットボトルの側面を押して潰せば中の水は溢れて出てきます。
側面を潰したので、高さは変わりませんし、ボトルが溶けて伸びたりしたわけでもないので、周の長さも変わりません。高さも断面積も変わらないなら、水は出ないはずです。しかし水は溢れでます。
と言うことは押した部分の断面積が変わったということです。

arrysthmia · Answer

＃４です。

＞なぜか、「同じ長さのひもで異なる形を作っても、面積は変わらないのではないか」という "感覚的な理解" があるのですが
＞どうしてでしょう。

何故でしょうね。
形が違えば、そこから求まる値（この場合、面積／周長）が違うのは、感覚的に当然で、
たまたま一致していれば、その理由が知りたくなる…　私なら、そんな感じですが。
人の感じ方は、それぞれです。

今回の場合、貴方は、質問文の後半で、周長一定の四角形が様々な面積をとることを、
実験で明らかにしています。（ a=150, b=1 から始まる部分）
後は、理屈で考えるのをやめて、見たままを信ずるだけではないでしょうか。
数学的かどうかは、ちょっと微妙ですが、科学的な態度とは、そういうものだと思います。

proto · Answer

たとえば8cmのひもがあったとき、それを完全に2つに折りたたんでしまえば周の長さは8cmで面積は0cm^2という図形ができる。
このように周がどのような長さでも面積を0にはできる。
これは少し考えれば小学生にもわかることだと思う。
もちろん8cmのひもで面積が0でない図形も作れるわけで。

そういう風に考えると、周が同じなら面積も同じと考える方が不自然に思える。

take_5 · Answer

書き込みミスの訂正。

＞周の長さ＝2（a＋b）＝8から、a＋b＝4.　面積をＳとすると、aとbはt＾2-4t＋Ｓ＝0.　‥‥(1)　の2つの解。

　　　　　　↓

周の長さ＝2（a＋b）＝8から、a＋b＝4.　面積をＳ＝abから、aとbはt＾2-4t＋Ｓ＝0.　‥‥(1)　の2つの解。

take_5 · Answer

何が不思議なんだろう？　質問者の頭のほうが余程不思議なんだけど。

周の長さ＝2（a＋b）＝8から、a＋b＝4.　面積をＳとすると、aとbはt＾2-4t＋Ｓ＝0.　‥‥(1)　の2つの解。共に0＜t＜4にあるから、結果としては判別式≧0より　0＜Ｓ≦4.
つまり、a＋b＝4で一定でありながら、面積は0＜Ｓ≦4である。
例えば、Ｓ＝3であれば、(1)はt＾2-4t＋3＝＝（t-1）*（t-3）＝0であるから、2辺が3と1になるだけ。

後半の部分は何が言いたいの？

MtGenkotsu · Answer

不思議ですね。確かにお話しの通りです。
では、周の長さは同じで、どんな形にしてもいいから最も面積が大きな図形は何だろう？？円ですか？知りたいと思いませんか？

同じようにして表面積が同じで、どんな形でもいいから最も体積が大きな図形は何だろう？？球ですか？知りたいと思いませんか？

arrysthmia · Answer

＞どうして周の長さは同じでも、作る形によって面積が変わるんでしょう？不思議で仕方ありません。

形が違えば、周長と面積の比が違う（ことが多い）のは、当たり前のように感じますが。
どの辺が、不思議なんでしょう？　不思議で仕方ありません。

不思議だと思う理由を熱く語ると、反応（というかツッコミ）の為所もあるかと思います。

sanori · Answer

こんばんは。

一辺の長さがＡの正方形を考えます。
面積は、Ａ^2　です。

次に、縦の長さをＢだけ増やし、その代わり横の長さをＢだけ減らして、長方形にします。
すると、面積は、（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）です。
面積は変わりますが、周の長さは変わりません。

こんな公式を見たことないですか？
（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）　＝　Ａ^2　－　Ｂ^2

それが、長方形の面積であるわけです。

長方形の面積をできるだけ大きくするには、
Ｂがマイナスでもプラスでもなく、ちょうどゼロであればよいわけです。
つまり、Ｂ＝０　のとき、つまり、長方形が正方形であるとき、面積が最大になります。


＞＞＞放物線になりますが、こういう性質を利用して、何かの問題を解くのに便利なことってあるのでしょうか？

上記は、その逆で、正方形のときに面積が最大であることを、
乗法公式を使って示しました。

ただし、あなたが考えていることも重要で、
二次関数の極大・極小を考える際の、二次関数の微分の考え方につながります。


以上、ご参考になりましたら。

koko_u_ · Answer

>単位をmとするなら、同じ8mのひもをどのような形にとりつくろっても
>中の面積は同じように思えてしまいます

恐らく感覚的には面積を認識するよりも、周長を認識する方が簡単なために両者が混同されているのでしょう。

>こういう性質を利用して、何かの問題を解くのに便利なことってあるのでしょうか？

あなたが今考察した事柄、その方法ともに素晴しいです。
その思考そのものが問題を解くのに役立つでしょう。

happy2bhardcore · Answer

質問とは離れますが

3と5の和は8ですが、積は15です。
また、2と6の和は8ですが、積は12です。

面積は積に関する問題なので、和は関係ないのです。

周の長さは同じなのに面積が違う？？？

感覚で考えるなら、実際にやれば分かりますが。

＃４です。

たとえば8cmのひもがあったとき、それを完全に2つに折りたたんでしまえば周の長さは8cmで面積は0cm^2という図形ができる。

書き込みミスの訂正。

何が不思議なんだろう？ 質問者の頭のほうが余程不思議なんだけど。

不思議ですね。

＞どうして周の長さは同じでも、作る形によって面積が変わるんでしょう？不思議で仕方ありません。

こんばんは。

>単位をmとするなら、同じ8mのひもをどのような形にとりつくろっても

質問とは離れますが

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