数学の証明について

数学に疎いので的外れな質問をしてしまうかもしれませんがよろしくお願いします。
「数学で証明されているから正しい」
こんな話を聞きます。
○○理論は証明されているから間違いはない。
でもその理論を証明するために使われる定義や理論が間違っていることはないのでしょうか。
その定義や理論も証明されているから間違いないのかな。
じゃあ、そこで使われる定義や理論は・・・？
このように永遠に結論が出てこないように思えるのですが。

お時間あるときで結構ですのでお教えください。

No.1 ベストアンサー 回答者： takuzo-EX 回答日時： 2006/11/04 02:45

定義。

これは人間が決めた基礎ルールのことです。従って定義を証明することは不可能ですし無意味です。
例えば三角形。
定義は『同一直線上にない３点とその３点がそれぞれ結ぶ線分によってできる多角形』です。
Δ←こんな形を三角形と言いますよね？何故三角形というのか・・・理由はありません。強いて言うなら《最初の人がそう決めたから》です。（おそらく最初の人は３つの角があるからそう名づけたのでしょう）

○○理論や○○定理なんていうのは定義が定められたとき自然と成り立つものです。これは証明できます。というか証明されなければみとめられません。
これらが間違っていることがあるかも？？答えは否です。
証明すること自体にも定義はあります。こうこうこのように説明できればその命題は真である。。。って感じです。その定義にのっとって証明されたものであればそれは数学界においては真なのです。

ただ、数学と科学では○○理論が偽であるときの扱いが違います。
数学では反例といって命題にそぐわない例がひとつでもあげられればそれは偽です。しかし科学界ではある理論に関する実験を行った際に理論とは異なる値が得られた場合でも『実験失敗』『別の作用がはたらいた』などといって理論が覆ることがないのです。

このへんに関しては書籍として
『99.9％は仮説でできている』　出版社・著者忘れました　文庫出てます
がおもしろい考察を加えています

あまり答えになってないような気もしますが。。。おわかり頂けましたか？？

この回答へのお礼

>定義。これは人間が決めた基礎ルールのことです。従って定義を証明することは不可能ですし無意味です。
この説明を聞いた納得できた気がします。

>『99.9％は仮説でできている』　出版社・著者忘れました　文庫出てますがおもしろい考察を加えています
本の紹介もありがとうございます。
検索してみたら概要を読んだらおもしろそうですね。
手に取ってみようと思います。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2006/11/04 03:44

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2006/11/04 03:01

こちら↓がご参考になるのでは？

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa43691.html

「数学で証明されているから正しい」なんてセリフ、現実に聞いたことは一度もありません。多分、数学は現実とは関係ないからでしょう。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa133062.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa31662.html

はたまたこんなのもあります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa40454.html

この回答へのお礼

URL見させてもらいました。
いろいろと参考になりました。

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/11/04 03:50

No.2 回答者： alkantala 回答日時： 2006/11/04 02:58

私は数学基礎論の専門家ではないので、

厳密な説明ではない事をまず最初にお断りしておきます。

で、数学の体系は公理と推論規則を前提として成り立っています。
これらは前提ですから、証明されるされないといった類のものでは
ありません。法律における憲法、スポーツにおけるルールブック
のようなものとお考え下さい。

そして最初に設定された公理から、最初に設定された論理規則
を用いて導出される結論を定理と呼びます。
またこの導出過程が証明と呼ばれるものです。
数学において「定理が正しい」とは、
公理と推論規則から正しい手順で導出されるものである事を指します。

さらに、最初に設定した公理から導かれる定理が互いに矛盾しない
（即ち「Ａである」と「Ａでない」が公理から双方証明可能であることはない）とき、
その公理は無矛盾であるといいます。

公理が無矛盾であるならその公理は正しいものであるとするのが一つの考え方です。
（何をもって「正しい」とするかは哲学的な命題になりますので深入りしません。）

この様な路線の考え方で２０世紀には数学の公理を適切に設定して、
数学の無矛盾性を証明する目論見が成されました。
これは数学は確固とした揺ぎ無い土台の上に立脚している事を
保証するための計画でした。

しかしこの計画は失敗しました。有名な（検索すればすぐ何万件もヒットするでしょう）ゲーデルの不完全性定理によって、
いかなる有限の公理を設定しようとも、それからその体系の無矛盾性
は証明できないという定理です。
（ではこの定理が前提とする公理は？という疑問もあるでしょうがそれも今は放置して進みます）

従って、公理から導かれる定理が互いに矛盾しないという保証は、
一つの公理に立脚する限り永遠に得られません。
ただこの場合も「公理から推論規則により導出されること」をもって
「正しい」と考えるなら、正しい言明というものは確かに存在する訳です。ただ「カラスは黒い」と「カラスは白い」が同時に「正しいこと」となってしまう危険性は残るというだけです。

つけ加えるなら、ある公理に新たな公理を付け加える事により、
最初の公理から導出される体系が無矛盾である事を証明する事は
可能です。ただし、この新たに公理が付け加わった体系が無矛盾
であることは言えません。それを証明するには更に公理を追加する
必要があります。

要するに有限の立場に立脚する限り、そこから導かれる体系が
矛盾をはらまないことは文字通り永遠に証明不可能です。

「正しい」と「無矛盾」の使い分けが少しややこしかったかも
しれませんが、だいたいこんな感じです。

この回答へのお礼

>要するに有限の立場に立脚する限り、そこから導かれる体系が
矛盾をはらまないことは文字通り永遠に証明不可能です。

非常におもしろいお話を伺えました。
おしえていただいた言葉をキーワードにして自分でもいろいろと調べてみたくなりました。

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/11/04 03:49