アンテナに供給される電力

問題を解いていて手詰まりになってしまったので質問させてください。
問題文は以下のものです。

特性インピーダンス50Ωの同軸ケーブルにインピーダンス80+j40Ωのアンテナが接続されている。50Ω負荷で出力が40dBmの内部インピーダンス50Ωの送信機をこの同軸ケーブルに接続した。アンテナに供給される電力はいくらか。

方針としては、送信機の電圧を求めてそれを元にアンテナに供給される電力を求めればいいと思いました。

送信機についての記述である「50Ω負荷で出力が40dBm」という表現をどのように解釈すればいいか迷いました。送信機(内部抵抗含む)に50Ω抵抗を接続した時に得られる電力を利得表現したものが40dBmだと解釈すると、40dBmは10Wに相当するので50Ωを用いて電圧を計算すると10√5Vという結果が得られました。よって、送信機の電源電圧は20√5Vになります。この解釈は間違っているかも知れませんが。

(GND)-(交流電源)--[20√5V]--(内部抵抗50Ω)--[10√5V]--(抵抗50Ω)-(GND)
※()は回路素子、[]はその点の電位

次に、ここからアンテナの電力を求めようと思い、回路の電流を求めようと送信機電源からアンテナ側を見た時のインピーダンスを求めようとしたのですが、同軸ケーブルのβlの値が与えられていないのでここで手詰まりになってしまいました。

これはどのように考えれば解答に結びつくのでしょうか。そもそも方針が間違っているということもありえますが…。

詳しい方おりましたら、どんな些細なことでも結構ですのでご教授ください。よろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： vq100mg 回答日時： 2007/02/11 17:17

いくつか方法が提示されていますが、あなたの最初の案を大事にしても良いように思います。

ただし送信機、ケーブル、アンテナの並びで、分断すべきはケーブルとアンテナの間です。送信機とケーブルを一体化させて考えてください。ケーブルは送信機側で整合がとれているので、ケーブル長に関係なく、アンテナ端から送信機側を見た出力インピーダンスは常に純抵抗50Ω、開放電圧は 20√5 [V]です。このブロックは、定常状態を論ずる限り、ケーブルを含んでもいても、20√5 [V]の電圧源に50Ω抵抗のついた集中定数回路と変わりないのです。
従ってアンテナに供給される電流は、
(20√5)/(50+80+j40) [A]
有効電力つまり、(電流^2 * アンテナ実効抵抗)は、
(20√5)^2 / ((50+80)^2 + 40^2) * 80 [W]
と計算されます。8.65 [W] でしょうかね。

別の方法として反射係数の式を使って解くなら、
電圧反射係数(80+j40-50)/(80+j40+50)
反射進行電力比は、その絶対値の２乗で、
((80-50)^2+40^2)/((50+80)^2+40^2)= 0.135
透過電力つまり有効電力は　10*(1-0.135) [W]
と計算されます。先の結果と一致します。

今回の場合、最初の方法（テブナンの定理的）が簡単で良いかもしれませんね。予備知識が少なくてすみます。

No.6 回答者： nrb 回答日時： 2007/02/11 11:17

電圧を計算しなくとも出力のままでよいということでしょうか？

どっちでも出ます
βを使わない方法で求めます

電圧反射係数Γ

＝（ZΓ－Zo）／（ZΓ＋Zo）

ZΓ　負荷インピーダンス
Zo　波動インピーダンス（特性インピーダンス）

但し
無損失回路とする

電圧反射係数Γ
がでれば・・・負荷にかかる（インピーダンス80+j40Ωのアンテナ）
電圧がでる

同軸ケーブルにに流れる電流も判るので・・・

答えがでる

電力反射係数Γpを求める手もある

って結局
同じことになる
電圧をつかって上と同じ方法で求める方法と

インピーダンス80+j40Ωと内部インピーダンス50Ωの送信機
と特性インピーダンス50Ωが判っているので

Vが出てこない変形式から出すことも可能
変形がめんどうなので省力です

負荷側から見たインピーダンスは変形すると

Z＝Zo／S

（VSWR）S＝Vmax／Vmin　変形すると

　＝（１＋│Γ│）／（１ー│Γ│）

電圧反射係数Γ＝（ZΓ－Zo）／（ZΓ＋Zo）

となり送信機電源からアンテナ側を見た時のインピーダンスがでます

ってこんな複雑な計算しても求まります

βつかってどっかで消えるけど
βつかってやると

無損失回路の基礎公式から・・・・
アンテナの位置はL＝０になるから消えるんですβがね
で結局　式をL＝０で変形していくと
上に書いた公式に行くんですので

同じですね

こんな所でつまずくと
スミスチャートを計算して描くことができません

この変の複雑な計算をしないためにスミスチャートがあるんですね

注意
スミスチャートを使って説く問題ではありません

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/02/10 19:53

#2 です。

>電力は振幅さえ一定ならば変わらないものなのでしょうか？

「送信機電源からアンテナ側を見た時のインピーダンスを求め」る必要はない、というつもりでした。
「同軸ケーブルとアンテナの整合が取れていませんので、単純に電力はそのまま伝わらない」ことはおっしゃるとおりです。

送信機出力をアンテナ・インピーダンス(80+j40Ω)に直接印加したと想定してアンテナ入力電力を算定すれば良いはずです。
(中断なさった計算式で、βlを勝手に想定し算出しても同じ結果になるはずです)

No.4 回答者： nrb 回答日時： 2007/02/10 10:40

まずは　ヒントだけ買いときますね

50Ω負荷で出力が40dBm・・・・表現をどのように解釈すればいいか

簡単に解説しますね
dBmは６００Ω系なんですね
ｄBμは５０Ω系です
単位にｄBμを使用する時は補正をしないいけません

したがって１２０ｄBμ＝０ｄBｍでは有りません
１１３ｄBμ＝０ｄBｍとなります

今回は回答のしかたによっては、補正した値をつかう必要があります
ｄBμを回答に使えば・・・補正がいる
ｄBｍで答える限り補正は要りません

単純にWでもいいです

40dBmは10Wに相当するので50Ωを用いて電圧を計算すると10√5V
の計算をしなくても
４０ｄBｍ＝１５３ｄBμ

１５３ｄBμが無線機の出力になります

この問題は、特性インピーダンス50Ωロスが書いてません

したがって、特性インピーダンス50ΩのケーブルロスをX（ｄB）とするとしないと問題が解けません

さらに問題はどのレベルまで考えるかです
同調給電線では同軸上に定在波比ができます
したがって同軸の長さにより答えが変わりますが

今回の問題に特性インピーダンス50Ωロス、長さ、波長などが無いのを見ると
ある長さ、ある波長の時にインピーダンス80+j40Ωのアンテナに成ったと見れば問題が解けます


同軸ケーブルのβlの値が与えられていないのでここで手詰まりになってしまいました。

βl？　位相定数・・・かな

この問題は
ある長さ、ある波長の時にインピーダンス80+j40Ωのアンテナに成ったと見ればβが消えます

これで複雑な計算をして最後には、負荷点の反射係数がでれば・・答えがでます

インピーダンス80+j40Ωから反射係数Γを求まれば


同軸の減衰X　負荷点での反射係数Γで１０W供給するとアンテナに供給される電力は？

って問題と同じですは

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

50Ω系、75Ω系などは聞いたことがありますが、600Ω系は初めて聞くものです。要するに、この問題を解くに当たって、電圧を計算しなくとも出力のままでよいということでしょうか？

アンテナのインピーダンスに給電線ロスが含まれると考えるということは、やはり送信機負荷と特性インピーダンスの整合により同軸ケーブルでの損失は考えず、アンテナと同軸ケーブルの反射係数と出力により計算するということですね。このように考えた時の電力の計算、反射係数と電力の関係についてまだまだ無知な部分がありますので今から図書館で調べてみようと思いますが、加えてご教授いただけると幸いです。

ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/10 17:18

No.3 回答者： tadys 回答日時： 2007/02/10 10:11

方針は正しいと思います。

この場合、同軸ケーブルの損失は無視してよいでしょう。実際には無視できない場合が多いですが。
そうすると送信機出力端から見た負荷インピーダンスがどうなっているかが問題になります。
ケーブルの損失が無いと言う前提ですから出力された電力は全てアンテナに供給されますね。

送信機から見て負荷インピーダンスがどうなっているかはケーブルの電気長が分からなければ求めることが出来ません。
この問題には答えられないことになります。

複素インピーダンスと同軸ケーブルが接続された時のインピーダンスはスミスチャートを使用することで簡単に求められます。
スミスチャート上に負荷インピーダンスをプロットしチャートの中心を中心としプロット点を通る円を描けば求めるインピーダンスはこの円周上にあります。
電気長が増加するとインピーダンスは負荷インピーダンスのところから始まり時計回りに移動していきます。
電気長が１／４波長の場合に負荷インピーダンスとは対称の位置になり、１／２波長では元に戻ってきます。

参考URLから、回路教室→スミスチャートを参考にしてください。

伝送線路を使用したインピーダンスマッチング回路と言うのもありますからね。
回路教室の「λ／４変成器」も見てください。

参考URL：http://www1.sphere.ne.jp/i-lab/ilab/,http://www. …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ケーブルの損失が無い(送信機負荷との整合による)と考えると、やはり反射係数の問題なのでしょうか。
反射係数はVSWRの計算等にしか用いたことがないので、このように電力の伝わり方に用いる場合どうすればよいかわかりません。(今から図書館に行って調べようと思います。)

λ／４変成器には私も目をつけていました。整合を取るために挿入されるもので、この計算は以前やったことがありまして、この変成器を挿入しない場合の式を無理やり解こうとしましたが無理でした。
スミスチャートについては原理はわかっているのですが、使ったことがなかったです。また一つ勉強になりました。

お礼日時：2007/02/10 17:06

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/02/10 08:37

>アンテナの電力を求めようと思い、回路の電流を求めようと送信機電源からアンテナ側を見た時のインピーダンスを求めようとしたのですが、同軸ケーブルのβlの値が与えられていないのでここで手詰まりになってしまいました。

本質的には#1 さんのコメントと同じです。
「βl の値」がわからず計算を中断なさったのでしょうが、(無損失ケーブルを想定しての計算らしいので)そのまま
続行していくと、ケーブルの「βl の値」はアンテナ入力信号の振幅には寄与しないと気付くはずでした。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
βlは確かに位相に関係するものであり振幅には関係しませんね。
電力は振幅さえ一定ならば変わらないものなのでしょうか？
この場合、同軸ケーブルとアンテナの整合が取れていませんので、単純に電力はそのまま伝わらないだろうなぁと思いインピーダンスの計算をしてしまいました。

お礼日時：2007/02/10 16:58

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2007/02/10 08:31

出題の狙いは、反射係数を使っての電力計算のように感じます。

送信機とケーブルのインピーダンスが整合しているので、
ケーブルとアンテナの接続点でパワーのやり取りを計算すればよいかと思います。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
反射係数ですか。
整合が取れている送信機の抵抗と、同軸ケーブルの特性インピーダンスの間では損失は生じないと考えて、同軸ケーブルとアンテナの反射係数から答えを導出すればよいということでしょうか？
その際は送信機の出力は電圧に直さなくてもよいということですね。

お礼日時：2007/02/10 16:54