いたるところ微分不可能な関数“高木関数”というのがあります。
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
この面積と曲線の長さを求めたいのですが、教えていただけないでしょうか?
少し変形したものでもいいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
面積だけ・・・
グラフとx軸で囲まれる部分の面積をSとすると、fn(x)とx軸で囲ま
れる部分の面積は(1/2)×1×(1/2^n)なので、(∵高さが1/2^nの三角形
の集まりで、底辺を合計すると1)
S=Σ(n=1,∞)∫(0,1)fn(x)dx=Σ(n=1,∞)(1/2)×1×(1/2^n)=1/2
になるでしょうか。
長さは、どのfn(x)も長さが√2なので、無限大になると思います。
無限大の長さものを有限のところに皺々にして押し込めたので、ど
この点でも微分できないという感覚だと思います。正確な証明はわ
かりません。
ちなみに、どこの点でも微分できない関数としてワイエルシュトラスの
関数というのもあります。こっちは-∞<x<∞で定義されています。
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