小・中学生に教える微分・積分

Question

こんにちは。
今日、学校の課題で「小学生に教える微分積分」と
「中学生に教える微分積分」というものが出されたのですが、
どのように教えればいいのかよくわかりません。
私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、
自分がわからない状態です。（＾＾；
小学生には公式等は使ってはいけなくて、中学生には
使ってもよいそうです。
私は、小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと
思っていますがどうでしょうか？
ちなみに、それぞれ小・中学校の過程を修了した者が
対象です。なにかいい例えがあったら教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

stomachman · Accepted Answer

速さと道のり（進んだ距離）の関係は、直感的に一番分かりやすく、また微分と積分が逆演算であることがよく分かります。

小学生向け：
　横軸＝時刻、縦軸＝速さのグラフを積分して、進んだ距離のグラフを描く、という問題から入ると良さそうですね。三角形や台形の面積の求め方を使います。
　微分法の方は、横軸＝時刻、縦軸＝進んだ距離のグラフから、速さのグラフを描く。（行って戻ってくる、というグラフでは、進む向きの違いが負速さとして現れます。）

中学生：
導入は小学生と同じで良いと思います。積分はグラフの面積。計算としての微分法は、なにしろ最低でも二次関数を相手にしないと全然面白くない。値打ちもわからない。高次の多項式が分かっていないと話が進まないから困ります。
　長さ100mの輪になったロープで、長方形の土地を囲む。なるべく広い面積を囲むには？という「極値問題」（「ＸＸを最大（最小）にせよ」という問題）を早期にやる事は、微分法の意義を理解させる上で重要と思います。

　stomachman自身が微積分の自習を始めたきっかけは、「なぜ、円錐の体積は（同じ底面積・同じ高さの）円柱の体積の1/3なのか？」という疑問からでした。なぜ丁度１／３？ １／３がどこから来たのか？不思議で仕方がない。
　（当時OKwebはなかったので）家にあった百科事典で調べたら、運良く「区分求積法」に行き当たりました。円錐を水平に薄切りにする。一つ一つは円盤です。この円盤の体積を求めて総和する。（無限に薄く切れば、無限に多くの円盤が出来るわけで、旨く工夫しないと総和が計算できません。）これはなかなか良い導入だった。そのパワー、つまり普通では計算できないものが解ける！が実感できたからです。
　（実は幾何学的に１／３を出す方法もあったんですが、ま、それは置いといて。）

鶴亀算はあんまり関係ないなあ。

tatuyama · Answer

う～ん
　学校では教員を専攻してらっしゃるのでしょうか？
　その課題を与えら先生は「それぞれの人に同じ事を説明できるようになりなさい」ということですよね。
　（大学ではなく高校かな？それなら習ってなくても・・・（自分は高校でも建築科だったが微分、積分、さわりだけ授業やってました））
　小学1年生と6年生でも教え方ってかなり違うと思うし、中学生でも二次関数完璧な人と、因数分解苦手な人に教えるのには違うアプローチの方が良いと思うし・・
　う～～ん、課題の意図がわからなくなってきちゃった・・・
　物事を教えるにはその知識以外が８０％占めるからね～
（幼稚園とかの保母さんに聞いた話では足し算教えるのに
　「イチゴがいくつありますか？」でわかる子も居れば、
　「カブトムシは何匹いますか？」でわかる子もいると・・）
　すいません・・・
　　　何のKOTAERUにもなってませんでしたね
　　　　　　m(__)m ゴメン

noname#254 · Answer

補足です。ドナルド・コーエン氏のＨＰが本で紹介されていたのを忘れていました。下のＵＲＬで行けます。（ただし、当然英語です）

　それから、同じくブルーバックスで、
　『マンガ微積分入門』
という本もありました。これも、例えば円の面積をトイレットペーパーで考えるとか、わかりやすくて面白いものでした。

　やりがいのある課題だと思います。がんばって。

参考URL：http//www.shout.net/~mathman/

134 · Answer

たとえば…

速度…微分的の応用。Ａさんがｎ地点からｍ地点まで歩きました。　歩く速さは一定ではないですし、途中でジュースを買って休むかも知れません。速度は単位時間あたりの距離ですが、瞬間瞬間で変化する値です。
　そして、そんな瞬間瞬間の積み重ねが、距離（積分の応用）になる。

面積…下でも書かれていましたが、積分の応用です。例えば、円をできるだけ細い弧に切って、四角形のカタチに当てはめていく。その結果、面の面積の求め方に近くなっていることを確かめる。

　というような、身近なものをつかうというのも一つの手かも知れません　かね。

noname#254 · Answer

講談社のブルーバックスシリーズで

　ドナルド・コーエン著　新井紀子訳
　『アメリカ流７歳からの微分積分』

という本があります。
　読みましたが、６歳とか７歳くらいからの子どもたちに興味の赴くままに問題を与え、「数列」や「微分・積分」につながる「発想」を共に考えていこう、というものでした。
　日本の小中学校の算数・数学教育にも、こういう面があったらいいのに、と感じました。
　もし、ご参考になれば。

atsuota · Answer

そもそも何を教えるのかがわかりません。
考え方？歴史？それとも具体的計算方法？（それは無理だろうな…）

考え方、というのであれば、
積分は、やはり面積が一番わかりやすいのでは？
台形公式を使ってグラフの面積を出すのは、小学校でも理解できます。
（一次直線なら完全に。適当な曲線でも考え方はわかるはずです。）

また、微分については他の方も書かれたようにグラフの傾きですね。
ただ、本当に「傾き」とやってしまうとよくわからないと思うので、
やはり台形公式を使うのがよいかと思います。
x=x0での傾きという話しをするのではなく、
x=x0とx=x1のときのそれぞれのyを結んだ傾きですね。

そうすると、微分と積分がちょうど互いに反対の考え方だということがよくわかりますよ。

何にしても、せめて台形公式くらいはご自分で納得されなければ、何ともなりません。がんばってください。

Durandal · Answer

数学的帰納法の応用をしてみては？

blue_leo · Answer

あ、ご自分でもわからないのですか(苦笑)

ぶっちゃけていうなら微分はある座標点の傾き、
積分はある座標点からある座標点までの面積（うーん言い方が難しい）です。

どちらも1次曲線のみだったら方眼紙を使った解説でなんとかなるんじゃないかと。

blue_leo · Answer

なぜそういうことになったのかちょっと理解に苦しむのですが
積分はおいておいて微分に関してはわかりやすい座標点を取って1点づつ検証することによって
説明できないでしょうか？
ある座標点の傾きを方眼紙で説明するなど。
それ以前に小学校で2次曲線って教えましたっけ？
１次曲線のみだったらなんとかなりそうですが。

marimo_cx · Answer

＞ 小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと

つるかめ算は連立方程式です、微積分ではありません。

＞ 私自身が微分積分を習ったことがないのもあって、 
＞ 自分がわからない状態です。（＾＾； 

こっちの解消の方が急務です。
自分の解らない事など教えられません。

小・中学生に教える微分・積分

速さと道のり（進んだ距離）の関係は、直感的に一番分かりやすく、また微分と積分が逆演算であることがよく分かります。

う～ん

補足です。

たとえば…

講談社のブルーバックスシリーズで

そもそも何を教えるのかがわかりません。

数学的帰納法の応用をしてみては？

あ、ご自分でもわからないのですか(苦笑)

なぜそういうことになったのかちょっと理解に苦しむのですが

＞ 小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと

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　う～ん

　補足です。

　たとえば…

　講談社のブルーバックスシリーズで

＞小学生には鶴亀算なんかが良いのかなぁと